Zur Transformation der elliptischen Functionen.
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Die Auflösung der Transformationsgleichungen durch algebraische
Operationen ist möglich für die singulären Werthe von bei denen
complexe Multiplication stattfindet. Dann giebt also die vorstehende
Methode einen Weg an, auf dem man die Theilwerthe der ^-Function
leicht berechnen kann.
§ 3.
Einige Sätze über die Bildung von Transformationsgrössen.
Bei der Bildung von Transformationsgrössen, wie sie in § 1 durch
die Sätze I bis VI angegeben ist, kann man noch dadurch eine Modi
fication herbeiführen, dass jede symmetrische Function auch eine
cyklische Function ist. Deshalb kann man den Satz I mit den Sätzen
IV und V in der Weise combiniren, dass man z. B. zunächst die
cyklische Function C von den Grössen p(w), p(kw), p(k 2 w), •••
bildet, dann aber für C' eine symmetrische Function von C, 0 (1) , C (2) ,
.. . setzt.
Der Vortheil, welchen die Benutzung symmetrischer Functionen
bietet, liegt in dem Umstande, dass man mehrere Schritte auf einmal
machen kann, die man bei cyklischen Functionen nach einander machen
müsste. Ist z. B. 2xa < <p(n), ist also
(p(n) = 2vx6 }
so kann man der Zahl s im Ganzen v verschiedene Werthe s u s 2 , • • • s v
geben, so dass die Theilwerthe p(k a s^w) sämmtlich von einander ver
schieden sind, wenn a die Zahlen 0 bis % — 1, ß die Zahlen 0 bis
a — 1 und y die Zahlen 1 bis v durchläuft. Dadurch werden aber
die — cp (n) Grössen p (Iw) erschöpft.
Geht nun durch Vertauschung von w mit s^w die cyklische Function
C in Cy ] über, und bildet man eine symmetrische Function dieser
vö Grössen Cy^, so ist sie eine Transformationsgrösse.
Bisher waren bei der Bildung der Transformationsgrössen die
jenigen Theilwerthe p(lw) der ^-Function ausgeschlossen, bei denen
l einen gemeinsamen Theiler mit n hat. Auch diese Beschränkung
kann noch aufgehoben werden, weil p(au) eine rationale Function
von p(u) ist. Wenn also a der grösste gemeinsame Theiler von l
und n ist, so wird eine cyklische Function der Grössen
<p(aw), p(kaw), p(k 2 aw), p(k x ~ 1 aw)
auch eine cyklische Function von
<p(w), p(kw), p(k 2 w), ••• p(k*~'iv)
Mathematische Annalen. XXXII. 2
296
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Mathematische Wissenschaften.
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach
Jakob Steiners Principien auf synthetischem
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S.
gr. 8°. M. 16.
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass
schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist.
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist.
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft,
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche
Fortsetzung folgen lasse.
Hannover. L. Kiepert.
