dann^ist bekanntlich die absolute Invariante J eine eindeutige Function 
von x, welche mit J(x) bezeichnet werden möge. Diese Function 
ändert sich gar nicht, wenn man x mit 
P + i* 
p + qr 
vertauscht. Die beiden Grössen x und x mögen äquivalent heissen, 
und das Zeichen für diese Aequivalenz sei 
(69) 
Eine Transformation w ten Grades führt man aus, indem man x mit 
(70) 
vertauscht. Dadurch verwandelt sich die absolute Invariante J oder 
J(t) in J (t) , ein Ausdruck, welcher der Kürze wegen auch mit J be 
zeichnet werden möge, und es gilt der Satz: 
I. Zu jedem Werthe von J gehören im Ganzen T(n) von einander 
verschiedene Werthe von J. 
Beweis. Nach den Gleichungen (68) und (70) ist 
np -j- nq x 
X — nx = 
p-\-qx 
Bezeichnet man nun den grössten gemeinsamen Factor von 
und q mit D, ist also 
(71) n — AD, q — ßl), Aq — d, 
so sind die ganzen Zahlen ß und d zu einander relativ prim, und 
man kann zwei ganze Zahlen a 0 und y 0 finden, für welche 
“ ßn = + 1 
wird. Setzt man jetzt noch 
*) Dieser Paragraph enthält zum Theil Untersuchungen, welche in ähn 
licher Weise schon von den Herren Dedekind (Journal für Mathematik, Bd. 83), 
Gierster und Hurwitz (Mathematische Annalen) und H. Weber (Acta mathe 
matica, Bd. 6) ausgeführt sind. 
**) Diese Veränderliche x ist nicht zu verwechseln mit der Function x(w), 
die in der Einleitung definirt wurde. 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin j832), dass 
schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.