34 
L. Kiepert. 
Die T verschiedenen t - Repräsentanten liefern daher, wie zn be 
weisen war, T verschiedene Werthe von J — welche 
(80) Ji(t), J 2 (t), • • • J T (z) 
heissen mögen, da sie sämmtlich Functionen von x sind. 
Bezeichnet man nun mit a, ß, y, d vier beliebige ganze Zahlen, 
welche der Bedingung ad — ßy = -j- 1 genügen, und vertauscht man 
x mit y ^ r , so sind die T Grössen 
a -f- p t ’ ^ 
(81) 
(1+A±\ T (y + 8x \ 
. . j~ ( y + dz ) 
\ a -f- ßr / 7 2 ' ec 4" ß T 
gleichfalls von einander verschieden. Da nun aber 
”?'+ »g'(jjrfp 
n (ap + V g) H~ n (ßp' 4~ # g ) * r 
(«1» + 72) + (ßjP Hb Äg) t Pi-fgt* 
ist, wobei bekanntlich p i q l ' —P\ <1\ wieder gleich 1 wird, so sind die 
T Grössen (81), abgesehen von der Reihenfolge, identisch mit den 
T Grössen (80). Deshalb wird das Product 
T 
] J (J - 7. (t)) 
<x= 1 
eine eindeutige Function von x, welche ungeändert bleibt, wenn man 
t mit y f T vertauscht. Daraus folgt bekanntlich, dass dieses Pro- 
a -\- ßr ° 7 
duct eine rationale Function F(J, J) von J und J ist, und man er 
hält den Satz: 
II. Die T Grössen J\ (x), J 2 (x) , ••• J T (r) sind die Wurzeln 
einer Gleichung T tcn Grades 
(82) F{J, J) = 0, 
deren Coeffcicnten rationale Functionen von J sind. 
Diese Gleichung soll wieder die „Invariantengleichung“ heissen. 
Von ihr gilt der Satz: 
III. Die Invariantengleichung ist irreducibel. 
Beweis. Ist J(nx) die Wurzel einer algebraischen Gleichung 
(83) G(J(nx), J{t)) = 0, 
so hat man eine Identität für alle Werthe von r, für welche die 
Reihenentwicklungen von J{x) und J(nx) convergiren, d. h. für alle 
Werthe von x mit positivem imaginären Bestandtheil. Dieselbe muss 
7) ~ 1 ~ Ci X 
auch befriedigt werden, wenn man x mit x — — vertauscht. 
07 P ~t 9. T