Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
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etwa die eine linear abhängig ist von der anderen. Deshalb lassen 
sich J und J rational darstellen durch eine solche Hülfsgrösse £ und 
durch die Quadratwurzel aus einer Function dritten oder vierten Grades von £. 
Ist q — 2, so giebt es unendlich viele Hülfsgrössen £ mit dem 
Charakter 2, die aber sämmtlich linear von einander abhängig sind. 
Durch zwei solche Hülfsgrössen £ lassen sich daher J und J nicht 
rational darstellen. Dagegen giebt es ausserdem noch unendlich viele 
Hülfsgrössen rj mit dem Charakter 3, so dass J und J sich als rationale 
Functionen von £ und rj darstellen lassen. Da nun die Gleichung 
zwischen £ und rj in Bezug auf £ vom dritten und in Bezug auf rj 
vom zweiten Grade ist, so kann mau J und J rational ausdrücken durch 
£ und durch die Quadratwurzel aus einer Function fünften oder sechsten 
Grades von £. 
Ist q > 2 und gerade, so giebt es nach Riemann (ges. Werke, 
Seite 116) Hülfsgrössen £ mit dem Charakter2); 
ist q > 2 und ungerade, so giebt es nach Riemann Hülfsgrössen 
£ mit dem Charakter --((> + 3). 
In Ausnahmefällen kann der Charakter noch niedriger werden. 
So wird z. B. die Invariantengleichung bei der Transformation 30 ten 
Grades den Rang q — 3 haben. Der Riemann’sehen Angabe ent 
sprechend müsste dann der Charakter jeder Hülfsgrösse des Rationalitäts 
bereiches (J, J) mindestens 3 sein. Es giebt aber in Wirklichkeit 
schon Hülfsgrössen mit dem Charakter 2, die sämmtlich linear von 
einander abhängig sind; man hat also den sogenannten hyperelliptischen 
Fall. Hülfsgrössen mit dem Charakter 3 giebt es in diesem Falle 
überhaupt nicht. Dagegen findet man noch Hülfsgrössen mit dem 
Charakter 4, so dass sich J und J rational durch £ und die Quadrat 
wurzel aus einer Function siebenten oder achten Grades von £ dar 
stellen lassen. 
In allen Fällen giebt es aber Hülfsgrössen £, deren Charakter 
gleich oder kleiner ist als y (p-f-3). Indem man also J und J als 
rationale Functionen von zwei solchen Hülfsgrössen £ und »7 darstellt, 
kann man die Invariantengleichung durch die Gleichung zwischen 
£ und rj ersetzen. Dadurch wird eine um so grössere Vereiufachung 
herbeigeführt, je niedriger der Charakter von £ und rj ist. 
Um zu entscheiden, ob der Charakter einer Hülfsgrösse möglichst 
klein ist, muss man zunächst den Fang (j der Invariantengleichung 
bestimmen. 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin 1832), dass 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.