Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
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bekannt ist. Dagegen gelangt man durch Anwendung der schon früher 
(§ 5, Gleichung (65)) erklärten Producte 
(102) 
n 
«(- 
(?(®.®') 
welche der Kürze wegen „ L- Producte“ genannt werden sollen, zum 
Ziele. Dabei waren , Z> 2 , D 3 , . . . beliebige Theiler von n, und die 
Exponenten d t , d 2 , d 3 , . . . waren positive oder negative ganze Zahlen. 
Sind diese Exponenten so bestimmt, dass £ eine Transformationsgrösse 
wird, so wurde £ ein Parameter genannt, weil dann £ dem Rationalitäts 
bereiche (J, J) angehört. 
Dies folgt schon aus Satz III in § 1 (Seite 10), nach welchem 
die Transformationsgrösse § durch g 2 , </ 3 und die Transformationsgrösse 
J rational darstellbar ist. In dem vorliegenden Palle ist aber £ von 
der nullten Dimension, folglich kommen g 2 und g 3 nur in der Ver- 
bindung 
und 
SV 
9Í - 2703* 
27 ft* 
J 
J - 1 
vor. 
d. h. 
Ü2 A ~ 2703* 
ist eine rationale Function von J und J . 
Es ist also zunächst die Frage, wie man die Exponenten d l} d 2 , d 3} ... 
bestimmen muss, damit £ wirklich ein Parameter wird. 
Die Antwort auf diese Frage findet man entweder auf dem Wege, 
der bei der Bildung der Transformationsgrössen eingeschlagen wurde, 
indem man 
(103) x=f(D i )^f(D^f(D i y... 
rational durch die Theilwerthe der ¡p-Funetion auszudrücken versucht. 
Man kann aber auch den Umstand benutzen, dass jeder Parameter £ 
als rationale Function von r) und J = J(nx) darstellbar ist. 
Nun ändert sich J(r) gar nicht, wenn man r mit der äquivalenten 
Grösse 
p 4- gr 
P + 5U 
vertauscht. 
Die nothwendige und hinreichende Bedingung, dass bei dieser 
Vertauschung auch die absolute Invariante J(nt) der transformirten 
elliptischen Function ungeändert bleibt, ist bekanntlich 
g = 0 (mod. n) oder q — nr. 
Jede eindeutige, analytische Function § der Grösse r, welche bei der 
Vertauschung von x mit gleichfalls ungeändert bleibt, und 
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stehen werde, 
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Zum grofsen 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
zwischen dem 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letztefl Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.