(108) [ 
Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
(Dj — l)dj -f- {B 2 — l)i 2 -f- (-Z>3 — 1)^3 + • ‘ * =0 (mod. 24). 
Diese Bedingung, der die Exponenten , d 2 , d 3 , . . . genügen müssen, 
ist übrigens schon in Gleichung (64) ausgesprochen worden, als man 
verlangte, dass die Zahl m durch 6 theilbar ist. 
Eine zweite Bedingungsgleichung findet man, indem man 
p = 1, r— 1, p— 0, q = 1 
setzt. Dann wird 
e (o,’ i) = e 
folglich ist hier der Factor (107) gleich 
Ani 
12 
—— [n -f- • ••) — -“L — A 3 d 3 — • • •] 
e 
und wird nur dann gleich 1, wenn 
(n — -J- (w—Ä 2 )d 2 -{- (w — -4 3 )d 3 -{-••• = 0 (mod. 24), 
oder 
(109) (D, - 1) A x d\ + (Z> 2 - 1) A 2 d 2 + (JD S — 1) A 3 d 3 + • • • =0(mod. 24). 
Diese Bedingungen (108) und (109) sind nothwendig; sie sind aber 
auch, wie sogleich gezeigt werden soll, hinreichend, wenn die Ex 
ponenten d,, d 2 , d 3 , . . . sämmtlich gerade und auch n gerade ist. 
Sind die Exponenten d u d 2 , d 3 , ... sämmtlich gerade, aber n 
ungerade, so tritt noch eine dritte Bedingung hinzu. 
Die Untersuchung wird nämlich wesentlich einfacher, wenn man 
sich auf den Fall beschränkt, wo die Exponenten d,, d 2 , d 3 , . . . lauter 
gerade Zahlen sind, weil man es dann nur mit 12 ten Wurzeln der Einheit 
zu thun hat, welche sich viel leichter bestimmen lassen als die 24 len 
Wurzeln der Einheit q. Nach den Angaben von Herrn Hurwitz 
(Grundlagen einer independenten Theorie der Modulfunctionen u. s. w., 
Math. Annalen, Bd. 18, S. 528) wird nämlich 
Eni 
_ 6 
n ( a ’ & Y K = 
9 \e, d) [c, d\ 
wobei 
(110) E= (1 — c 2 )[6d-f 3(c—l)d + c + 3] + c(a + d — 3). 
Deshalb verwandelt sich L(D) 2 bei der Vertauschung des primitiven 
Periodenpaares 2«, 2a mit 2'w', 2To' in 
wobei 
L{D) 2 e { 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin j832), dass 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.