Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
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Damit | ein Parameter wird, müssen zuerst zwei Bedingungen be 
friedigt werden, welche den Gleichungen (108a) und (109a), nämlich 
den Gleichungen 
2J(D — l)d = 24a und Z{B— l)Ad = 2U 
entsprechen, und welche hier die Form 
Z[(A-l)d-{n~\)d] = - 2(AD — A)d= — Z(D -l)Ad'=2±a 
und 
2[{A—l)Dd - (n— l)d] = — Z(D — \)8 = 2U' 
annehmen. Diese Bedingungen sind aber sicher erfüllt, denn es wird, 
wie man ohne Weiteres erkennt, 
a = — b und b' — — a, 
wobei a und b ganze Zahlen sind, weil nach Voraussetzung | ein 
Parameter ist. Es wird daher auch | ein Parameter, wenn die Ex 
ponenten dj, d 2 , d 3 , . . . sämmtlich gerade sind, und wenn auch n eine 
gerade Zahl ist. 
Ist dagegen n ungerade, so tritt noch die Bedingung 
S = 2?[(A 3 —n* — 3(A 2 —n 2 ) + 2(A—n)]& = 0 (mod. 24) 
hinzu. Auch diese Bedingung wird erfüllt, denn nach Voraussetzung 
ist £ ein Parameter, es ist also 
£(D 3 —W 2 +2B)d = 2J[(D 3 — 1)-3(D 2 —1)+2(D— 1)]4 = 0 (mod.24), 
folglich ist 
S= 2[A* (1 - D 3 ) - 3 A 2 (1 - D 2 ) + 2A (1 - B)\ 8 
ee— 2[(AS— 1)(D 3 -1)—3{A 2 — 1)(Z> 2 —l) + 2(zl-l)(D-l)]<T 
Da n ungerade ist, so müssen auch A und D ungerade sein, also 
A = 22? -j- 1, D = 2 E -f- 1, folglich wird 
A 2 — l — 42? (2?-f-1) und I) 2 — 1 = 4E(E+1). 
Dies giebt 
S=~ 2;[(^ 3 -l)(D 3 -l)-f2(^L —l)(D —l)jd 
= — 2?[(85 3 +12.B 2 -f 62?) (8E*-{-\2E 2 + 8E) + 8BE]d 
ee - ±BEE{\8B 2 E 2 -\-2)8 
= — 4BE2J(B 2 E 2 -1)8 = 0 (mod. 24). 
Es möge noch ein zweiter Beweis hinzugefügt werden, der auch 
den Fall umfasst, wo die Exponenten d theilweise ungerade sind. 
Da £ ein Parameter ist, so ist £ darstellbar als rationale Function 
von J und J. Setzt man z. B. wieder 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°- M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.