Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
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oder den Werth von L(5) 6 = rj in die Gleichung 
(453) J:J— 1:1 = (7 ? 2 + 10i ? + 5) 3 :(j ? 2 + 4i ? — 1) 2 (i ? 2 +22i ? + 125): 1728 
ein, so erhält man J als rationale Function von ^ und w. Dies giebt 
(454) 
1728 • 4[(1 + S, 2 ) (1 - 9g, - É, 2 ) + (1 - 4£, - I, 2 ) w] 
s ) 
= [(.1 — 18g,+ 81 g, 2 — 8g,3— I80i^+18£,»+ 
+ (1 — 9 g, -J- g, 3 — g, 4 )(1 —4 5, — i, 2 )w] 3 . 
;, 6 +8S, I +: 
Der zu i, complementäre Parameter ist wieder so dass man aus der 
Gleichung (454) auch J erhält, indem man -j- w mit —w vertauscht; 
oder mit anderen Worten: Jund Jsind die Wurzeln derselben quadra 
tischen Gleichung. 
Noch einfacher kann man die Beziehung zwischen J und J durch 
die Gleichung (453) und die Gleichung 
(455) J:J—1:1 = (g 2 +10 g -f ö) 3 : (y 2 + 4 ^ — l) 2 ft4-22 fj +125): 1728 g 
darstellen, wobei 
,,- C v - 125 _L(3) 6 125 
tf“) uw 
der zu r\ complementäre Parameter ist und aus dem für rj gefundenen 
Werthe hervorgeht, indem man in Gleichung (452a) -{- w mit — w 
vertauscht. 
Schliesslich ist noch 
(457) Z(15) 12 = £* L(3) [2 Z(5) 12 , 
also gleichfalls eine rationale Function von ^ und w. 
Für n = 21 
(443 a) gehen über in 
(458) 
§ 48. 
Transformation vom Grade 21. 
wird a — 7, 1 = 1, p = 1 und die Gleichungen 
4ój = — Jcq -(- 6/íj -j- Jc 2 , 
+ K + 2 -f- 7 k 2 , 
4d 2 
4 d., 
also 
(459) 
= — 5¿ 0 — b/pj 7/c 2 , 
8 2 -f- <? 3 
(h + ^i)> 
d'i -J- d 2 = 2{ky -f- ft 2 ), 
2(dj -j- d 3 ) = — 3(ft 0 -f- h 2 ). 
Deshalb muss h 0 + h 2 e ^ ne gerade Zahl sein. Sind die ganzen 
Zahlen h 0 , h x , 1c 2 so bestimmt, dass d 2 eine ganze Zahl wird, so sind 
auch dj und d 3 ganze Zahlen. Dadurch erhält man 8 Z/-Producte mit 
dem Charakter 2, nämlich 
l 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten 1 ’ (Berlin i832), dass 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.