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Ueber Epieycloiden, Hypocycloiden etc. 
erschien in diesem Journal (XV. Jahrg. S. 129, ausgegeben den 2. Mai 1870) 
ein Aufsatz von Herrn E. F. Eckardt, in dem sich die auch von mir be 
nutzte Erzeugungsweise der Epieycloiden und Hypocycloiden findet* Ob 
gleich Herr Eckardt in seiner Abhandlung bereits einige Sätze aufgeführt 
hat, die auch in meiner Arbeit enthalten waren, so konnte ich diese Sätze 
in der hier folgenden Umarbeitung doch nicht fortlassen, weil sie hei mir 
auf ganz anderen Wegen hergeleitet werden und in dieser Herleitung auch 
für das Uebrige von Wichtigkeit sind. 
Die Stein er’sehe Curve ist, wie man leicht zeigen kann, die En- 
veloppe der Geraden ps, wenn sich die von Steiner mit p und s bezeich- 
neten Punkte auf dem Kreise m 2 in entgegengesetzter Richtung bewegen, 
und zwar s doppelt so schnell als p. Die Verallgemeinerung hiervon liegt 
sehr nahe. Auf einem Kreise m 2 bewegen sich zwei Punkte p und s mit den 
Geschwindigkeiten cp und ip, wobei zwischen cp und ip irgend eine Gleich 
ung besteht; dann umhüllt die Verbindungslinie ps eine Curve, die wir zum 
Unterschiede von den aus ihr abgeleiteten Curven Anfangscurve nennen 
wollen. Ferner sei M die Mitte der Sehne ps, dann steht die Gerade, 
welche den Punkt M mit dem Mittelpunkt m des Kreises m 2 verbindet, senk 
recht auf der Sehne ps, also senkrecht auf der Tangente der Anfangscurve. 
Deshalb wollen wir die bei eintretender Bewegung vom Punkte M beschrie 
bene Curve Fusspunktscurve nennen. Schliesslich legen wir in den 
Punkten p und s an den Kreis die Tangenten, die sich in dem Pol P der 
Geraden ps schneiden. Deshalb nennen wir die bei eintretender Bewegung 
von P beschriebene Curve Polar curve. Dabei folgt aus Kreissätzen un- 
m M 7' 
mittelbar, dass = —- ist, 
r m P 
wo r der Radius des erzeugenden Kreises 
ist, dass also auch durch reciproke Radii vectores die Polarcurve aus 
der Fusspunktscurve abgeleitet werden könnte. 
Ueber das hierdurch definirte Coordinatensystem hoffe ich später mebr 
zu geben; in dem Folgenden möge nur eine sehr einfache Gleichung zwi 
schen cp und 4> behandelt werden, um die Zweckmässigkeit dieses Coordi- 
natensystems zu zeigen. Diese Gleichung sei 
ip = + n cp, 
wo n eine beliebige positive ganze Zahl ist. In Worten bezeichnet diese 
Gleichung: Die Punkte p und s durchlaufen die Perijiherie des Kreises »i 2 , 
und zwar bewegt sich s n-mal so schnell als p. Der Sinn, in dem sich die 
beiden Punkte bewegen, sei gleich oder entgegengesetzt; beide Fälle sol 
len gleichzeitig behandelt werden, und in den Formeln soll für den ersten 
Fall immer das obere Zeichen gelten, während für den zweiten Fall das 
untere Zeichen gilt. Die angewendeten Bezeichnungen sind, soweit es 
möglich war, 
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