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Von Dr. L. Kiepert. 
>n den 2. Mai 1870) 
auch von mir be 
enden findet. Ob- 
i Sätze aufgeführt 
ite ich diese Sätze 
i, weil sie bei mir 
;r Herleitung auch 
r en kann, die En- 
it und s bezeich- 
liclitung bewegen, 
?rung hiervon liegt 
ete fi und s mit den 
rgend eine Gleich- 
Curve, die wir zum 
ngscurve nennen 
steht die Gerade, 
m a verbindet, senk- 
der Anfangscurve. 
^unkte M beschrie- 
legen wir in den 
in dem Pol P der 
retender Bewegung 
ms Kreissätzen un- 
•zeugenden Kreises 
die Polarcurve aus 
möglich war, denen von Steiner entlehnt. So nennen wir jede Gerade fis 
eine Erzeugende G, den Punkt fi ihre Mitte und den Punkt s ihren Scheitel, 
obgleich für den Punkt fi der Name Mitte nur bei der Steiner’schen Curve 
ganz entsprechend ist. Den Radius des Kreises m 2 setzen wir gleich r. Ist 
in dem Folgenden von einer polaren Beziehung die Rede, so besteht sie 
stets durch Vermittelung des Kreises in 2 . 
1. Wir wollen zunächst auf einer beliebigen Erzeugenden G oder fis 
den Berührungspunkt t aufsuchen. Es seien G und G' zwei beliebige Er 
zeugende mit den Mitten fi, ¡T und den Scheiteln s, /; ihr Durchschnitts 
punkt sei T\ dann sind nach bekannten Sätzen aus der Kreislehre die Drei 
ecke fif/r und s'sT einander ähnlich, und infolge dessen verhält sich 
fi ¡i : s's = T fi: Ts'= Tfi : Ts. 
Wenn jetzt die Punkte fi und ¡i einander unendlich nahe rücken, so 
rücken auch s und s einander unendlich nahe; die Sehne fifZjfvereinigt sich 
mit dem Bogen fifZ, und ebenso vereinigt sich die Sehne ss mit dem Bogen 
ss’. Da nun aber der Bogen ss'=n.(i(T ist, so gilt diese Gleichung auch 
für die gleichbenannten Sehnen, wenn diese nur hinreichend klein sind. 
Gleichzeitig mit dem Aneinanderrücken der Punkte fi und (T geht der Durch 
schnittspunkt T der beiden Erzeugenden G und G in den Berührungspunkt t 
der Erzeugenden G über. Wir haben dann also folgende Proportion: 
fi fZ: s's — l fi : ts — l fi : i s — 1 : n. 
Nun fällt aber fi mit fZ und s mit s zusammen, folglich ist 
ts = n.t fl. 
Darin liegt der Satz: Der Berührungspunkt t einer jeden 
Erzeugenden G oder fis theilt sie in dem Verhältniss von 1 
zu n. Der Punkt t liegt zwischen fi und 5, wenn sich fi und s im gleichen 
Sinne bewegen, dagegen auf der Verlängerung von fis über fi hinaus, wenn 
sich die beiden Punkte im entgegengesetzten Sinne fortbewegen. 
>ffe ich später mehr 
che Gleichung zvvi- 
;keit dieses Coordi- 
en bezeichnet diese 
erie des Kreises 
nn, in dem sich die 
zt; beide Fälle sol- 
i soll für den ersten 
;n zweiten Fall das 
en sind, soweit es 
2. Jetzt ist es sehr leicht, in einem beliebigen Punkte P der Polar 
curve an diese eine Tangente zu legen. Ist nämlich P der Pol der Erzeu 
genden fis (die also eine Tangente der Anfangscurve ist), so wird die Tan 
gente der Polarcurve die Polare des Punktes t sein, in dem fis die Anfangs 
curve berührt. Die Polare des Punktes t schneidet aber die Sehne fi s in 
einem Punkte t\ so dass t der vierte harmonische zu den drei Punkten s, fi, t 
ist. Wir haben daher 
t s = n.l fl 
und somit folgenden Satz: Jede Tangente der Polarcurve schnei 
det die entsprechende Tangente fis der Anfangscurve in 
einem Punkte der ¡jls in demselben Verhältniss von 1 zu n 
t h e i 11, wie der Punkt nur liegt der Punkt /' ausserhalb von 
fi und 5, wenn t zwischen fi und s liegt, und umgekehrt. Um 
»»"i Äicpci t in oresiau. 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°- m! 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
VJl uiiuiicimvn 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtct^^^^ 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.