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Ueber Epicycloiden, Hypocycloiden etc.
38. Durch jeden Punkts des erzeugenden Kreises m z gehen zunächst
die n Erzeugenden der zugehörigen Gruppe, die in s ihren Scheitel haben,
nämlich sp.,, s ... s p n , und ausserdem eine Erzeugende, die in s ihr e
Mitte hat. Der Scheitel von dieser heisse g, dann ist es möglich, dass
G mit einem der Punkte p,, p 2 ... ¡.i n zusammenfällt, so dass diese Erzeu
gende sa eine Doppeltangente der Anfangscurve ist, wenn nicht etwa s und
G beide in einem der Punkte w,, u 2 ...u n zusammenfallen. Dabei sieht man,
dass die beiden Berührungspunkte einer Doppeltangente stets in Jlezug auf
den Kreis m 2 eine symmetrische Lage haben. Wir wollen die Anzahl und
die Lage dieser reellen Doppeltangenten aufsuchen.
Es sei wieder einer der Scheitel der Anfangscurve, dann folgt aus
dem Bildungsgesetz der Curve, dass
smu t = ^r_n . ^ Gniu l -j- a . 360°
und
<)' (?»!«!= + »• <)C S m U \ + ß ■ 360°
sein muss, wo a und ß positive oder negative ganze Zahlen sind. Aus die
sen beiden Gleichungen erhalten wir
y.360°
smii.
n 2 — 1
als nothwendige und hinreichende Bedingung, dass sg Doppeltangente der
Anfangscurve ist, wo
y = 1, 2 ... n 2 — 1
360°
sein kann. Ist aber smu { ein Vielfaches von , so fallen die Punkte s
n +1’
und G in einem Scheitel der Anfangscurve zusammen; eine solche Erzeu
gende ist daher nur eine einfache Tangente der Anfangscurve. Deshalb
müssen wir von den für y angeführten Werthen 1 Werthe ausschliessen,
nämlich
y = n jp 1, 2(n -j- l) . . (n -|- l) (n + 1).
Die Anzahl der noch übrig bleibenden Werthe von y ist daher
n (n—l)
O + l) o — 2)
und die Anzahl der reellen Doppeltangenten
■1-0 + 1)
ft (n — l) , O + l) O — 2)
oder ——
2 2
je nachdem sich die Punkte ¡a und s im gleichen oder im entgegengesetzten
Sinne bewegen.
Die Lage der Doppeltangenten ist vollständig durch die Gleichung
y.360°
1
bestimmt.
39. Den Doppeltangenten der Anfangscurve entsprechen Doppel
punkte der Polarcurve und deshalb auch Doppelpunkte der Fusspunkts-
