Von Dr. L. Kiepert. 
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2 gehen zunächst 
n Scheitel haben, 
le, die in s ihre 
es möglich, dass 
lass diese Erzeu- 
nicht etwa s und 
Dabei sieht man, 
stets in Bezug auf 
n die Anzahl und 
e, dann folgt aus 
3ii sind. Aus die* 
ippeltangente der 
illen die Punkte s 
¡ine solche Erzeu- 
jscurve. Deshalb 
rtlie ausschliessen, 
laliei 
entgegengesetzten 
die Gleichung: 
sprechen Doppel- 
3 der Fusspunkts- 
curve. Daher ist durch die vorige Nummer gleichzeitig die Anzahl und die 
Lage der Doppelpunkte auf der Polarcurve und der Fusspunktscurve be 
stimmt worden. 
40. Es seien G n G 2 ... G n die zu einer Gruppe gehörigen n Erzeu 
genden der Anfangscurve mit dem Scheitel s g , und H x , H 2 ...II n die n Er 
zeugenden einer beliebigen andern Gruppe mit dem Scheitel s/ t . Denken 
wir uns nun in s ff und Sh zwei projectivisch gleiche und gleichgerichtete 
Strahlenbüschel, so erzeugen diese einen Kreis. In diesen beiden Büscheln 
seien G t und //, zwei entsprechende Strahlen, dann sind auch G 2 und ff 2 , 
G 3 und 7/ 3 ... G n und H n entsprechende Strahlen, weil nach dem Vorher- 
v 180° 
gehenden G v mit G t und ebenso IJv mit //, den Winkel — bildet. Die 
n Durchschnittspunkte von G t und H i , G 2 und II 2 ... G n und H n liegen daher 
alle auf einem Kreise, der durch die Punkte s g und sj t geht, und theilen die 
sen Kreis in n gleiche Theile. 
Ebenso wird bewiesen, dass die n Durchschnittspunkte von £, und // 2 , 
G 2 und ff 3 ... G n und //, auf einem Kreise liegen, der gleichfalls durch die 
Punkte s„ und sj t geht und von diesen n Durchschnittspunkten in n gleiche 
Theile getheilt wird. So fahren wir fort und erhalten den Satz: Dien 2 
Schnittpunkte zweier beliebiger Gruppen von Tangenten der 
Anfangscurve liegen zu je n auf n Kreisen, welche alle durch 
die beiden Scheitel der Gruppen hindurchgehen, und diese 
Kreise werden von den auf ihnen liegenden Schnittpunkten 
in n gleiche Theile getheilt. 
41. Aus der Kreislehre sind die beiden Sätze bekannt: „Alle Sehnen, 
welche durch einen Punkt A innerhalb eines Kreises gezogen werden kön 
nen, werden von der Kreisperipherie in zwei Punkten geschnitten, so dass 
das Product ihrer Abstände von A ein constantes ist“, und ebenso: „Alle 
Secanten, welche durch einen Punkt A ausserhalb eines Kreises an diesen 
gezogen werden können, werden von dem Ki$ise in zwei Punkten geschnit 
ten, so dass das Product ihrer Abstände von A ein constantes ist.“ Mit 
Anwendung dieser beiden Sätze folgt aus 40), dass jede Erzeugende 
der einen Gruppe von den n Erzeugenden der andern Gruppe 
und dem Kreise m 2 in n-\-1 Punkten geschnitten wird, welche 
auf der Linie 11 Theile bestimmen, deren Verhältnis.s bei allen 
2nErzeugenden der beiden Gruppen genau dasselbe ist. Da 
raus folgt zunächst, dass zwei beliebige Erzeugende G und //aus 
zwei verschiedenen Gruppen von dem Kreise m 2 und den?« — 1 
anderen Erzeugenden in n Punkten geschnitten werden, so 
dass die Verbindungslinien je zwei entsprechender Punkte 
zu einander parallel werden. Zu jedem dieser n 2 Systeme von 
n parallelen Linien gehört eine Sehne des Kreises tn z , welche 
’<• j 
mvn Aieperr m Breslau. 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubn'er, iggo. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin ig32), dass 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke enispx'c^ncuuci 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zm 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufricmigemDanke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.