14 
VECTEURS 
Démontrer que la droite MM' passe par un point fixe. 
Puisque le nombre k n'est pas égal à 1, les droites AA et 
MM' se rencontrent en un point O, 
et dans le triangle OAM nous 
avons (18) 
0 
AM UA 
A'M' UA'’ 
et par suite, 
A 
Comme les points A, A* sont 
fixes, le point O est également fixe (10), et le théorème est 
démontré. 
22. Théorème. — Dans un triangle, le carré d'un côté quelconque 
est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, diminuée du 
double produit des valeurs algébriques de deux vecteurs, ayant même 
origine, qui sont l’un des deux autres côtés et la projection de l'autre 
sur lui. 
Considérons le côté AB du triangle ABC; les deux autres 
côtés sont CA et CB. Projetons par 
exemple CA sur CB, la projection 
est CH ; les deux vecteurs de 
l'énoncé sont CB et CH, ils ont la 
A 
même origine C. Il faut démontrer 
l’égalité 
AB 2 = CA 2 + CB 2 — 2CB .ÜH. 
On peut aussi projeter CB sur 
CA suivant CH', on aura alors 
AB 2 = CA 2 + CB 2 — 2 CA. CH'. 
Etablissons la première formule. Dans le triangle rectangle 
ABH, on a 
AB 2 = AH 2 + BH*. 
Or, d’après la formule de Chasles (5), on a 
BH = BC + CH = CH — CB, 
et par suite, 
AB 2 = AH 2 + (CH — CB) 2 , 
ou, en développant, 
AB 2 = AH 2 + CH 2 + CB 2 - 2CB. CH.