20 
VECTEURS 
Deuxième démonstration. — La formule de Chasles (5) nous 
donne 
FA = PC + CA, 
pb = pü+cb; 
multiplions la première égalité par BC, la deuxième par CA 
et ajoutons: nous obtenons 
PA. BC + PB .CA = PC(BC + CA) H- CA. BC + CB.CA. 
Le coefficient de PC dans le deuxième membre, BC + CA, 
est égal à BA; la somme CA.BC + CB.CA est nulle, puisque 
BC — — CB ; il reste donc 
PA. BC + PB. CÂ = PC. BA, 
ou 
PA. BC + PB . CA + PC .AB = 0. 
Troisième démonstration. — Posons 
/(P) ,= PA.BC -h PB. CÂ + PC. AB. 
Nous allons montrer d’abord que la quantité/(P) conserve 
la même valeur si le point P varie sur la droite ABC, et ensuite 
nous montrerons que cette valeur est nulle. 
Pour un autre point P' de la droite, nous avons 
/(P') = FA.BC + P 7 B.CA+P 7 C.ÂB; 
nous en tirons 
f(P) —/(P') = (PA — PS) BC + (PB — PB) CÂ + (PC — PC)SB. 
Or on a 
et de même, 
et par suite, 
/(P) -Z(P') =F PP' (BC 4- CÂ + SB), 
et le second membre est nul d’après la formule de Chasles. 
On a donc 
/(P).=/(P'), 
ce qui montre que /(P) a une valeur constante, quelle que soit 
la position du point P. 
Pour calculer cette valeur, nous pouvons placer le point P 
en un point quelconque de la droite ABC; plaçons-le au point A, 
nous avons x 
/(A) = ÂB. CÂ + ÂC. ÂB = SB (CÂ + Se) = 0. 
Comme /(A) est nul, /(P) est nul quel que soit le point P. 
PA — P'A = PA 
PB — PB = PC 
AP 7 = PP', 
P 7 C = PP 7 ,