VECTEURS 
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29. On coupe deux axes orientés A, A' par trois droites parallèles qui 
les rencontrent respectivement aux points (A, A'), (B, B'), (C, C'). 
Établir la relation 
AA'. BG + BB'. CA + CC'. AB = 0. 
Soit, P le point de rencontre de A et de A'. Puisque AA' et BB' 
sont parallèles, on a (18) 
PA^AA 7 
PB ™ BB' ’ 
PA 
AA 7 ' 
et de même 
PA 
AA' 
PB 
BB 7 ' 
PC 
CC 7 ' 
On a donc 
PA _ PB PC 
AA' B B CC 7 ’ 
Désignons par X la valeur commune à ces trois rapports: 
nous pouvons écrire 
PA = X.AA\ P“B=X.BB\ PC = X.CC'. 
Bemplaçons maintenant PA, PB, PC par ces valeurs dans la 
relation d'Euler (28), et divisons parX, nous obtenons 
AA'. BC + BB'. CA + CC 7 . AB = 0. 
30. On donne sur un axe orienté trois couples de points (A, A'), 
(B, B'), (C, C'), et l'on considère les milieux a, b, c des segments AA', 
BB', CC'. 
Démontrer que si P est un point quelconque de l'axe, la quantité 
f (P) = PA. PA'. bc + PB . PB 7 . m + PC. PC'. db 
a une valeur constante. 
Soit O un autre point quelconque de Taxe; nous avons 
PA — PQ + QA, 
PA' = PO H- QA', 
et, en multipliant membre à membre, nous obtenons 
PA. PA 7 = PQ 2 + PQ(QA + QA 7 ) h-QA.QA 7 . 
D’autre part, a étant le milieu de AA', on a (9) 
QA + QA' — 2Qü,