PERPENDICULAIRES CONCOURANTES VUX CÔTÉS DUN TRIANGLE 41
1° La condition est nécessaire. Supposons que les perpendicu
laires se rencontrent au point P; joignons ce point aux sommets
du triangle. Les triangles rectangles BP a, CP a nous donnent
FY = FF 2 —Foc 2 ,
Coc 2 = CP' 2 - Foc 2 ,
et, en retranchant membre à membre,
nous obtenons
Fa 2 — Ca 2 = BP 2 — CP 2 .
Nous avons de même
Cp 2 — Âp 2 = CP 2 — AP 2 ,
_ g-2 — AP 2 — FP 2 .
Ajoutons membre à membre ces trois égalités, nous obte
nons la relation (1).
2° La condition est suffisante. Supposons qu’on ait la relation (1),
nous allons montrer que les trois perpendiculaires sont concou
rantes.
En effet, soit P le point de rencontre des deux premières,
c’est-à-dire de celles qui passent par a et du point P nous
menons Py' perpendiculaire sur AB, et nous allons démontrer
que y' coïncide avec y.
Les perpendiculaires menées aux côtés du triangle par les
points oc, p, y' étant concourantes, nous avons, d’après la pre
mière partie du théorème,
Foc 2 — Coc 2 + Cp 2 — Ap 2 + AY 2 — Ff 2 = 0 ;
et comme nous avons aussi la relation (1), nous en déduisons
A y' 2 — B y' 2 — A y 2 — B y 2 ,
on
(Aÿ' — Fy 7 ) (ÂY + F?) == (Aï — By) (Ay + B y).
Or
A y' — B y' — Ay’ -|- y' B = AB,
A y' -t- B y' = AB -f- B y' H- B y' — AB -+- 2B y',
et
Âÿ — Fy = ÂF,
A y -f- Fy = AB + 2By.
On a donc
AB (AF + 2F7) = AB (AF + 2ÏÏŸ),
ou B y = B y', ce qui montre bien que y et y' coïncident.
A