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VECTEURS 
44. Remarque. — Pour écrire aisément la relation (1), on peut 
observer que le premier membre renferme les carrés de six 
segments de droites, limités chacun à un sommet du triangle 
et à l'un des points a, p, y, qui se trouve sur le même côté que 
le sommet. De plus, les carrés des deux segments où figurent 
le même sommet sont précédés de signes contraires; il en est 
de même des carrés des sqgments qui contiennent le même 
des points a, P, y. 
Ainsi, nous avons les carrés des six segments Ap 2 , Aÿ 2 , B y 2 , 
lia 2 , C^ 2 , Üp 2 . 
Les deux premiers, contenant le même point A, auront des 
signes contraires; il en sera de même des deux suivants, et des 
deux derniers. En outre Ay 2 , B y 2 , contenant le même point y, 
seront de signes contraires; de même B« 2 , G a 2 et Ap 2 , Cp 2 . 
Par suite, si l’on commence à écrire Ap 2 — Ay 2 , il faudra 
mettre à la suite -t-Fÿ 2 — B a 2 , et ensuite -f-Ca 2 —. Cp 2 , et on 
aura ainsi 
A p 2 — Ay 2 + B y 2 — B a 2 + Ca s — G p 2 = 0, 
qui est la formule (1) écrite sous une autre forme. 
Voici quelques applications de ce théorème. 
45. Dans un triangle les perpendiculaires élevées aux milieux des 
côtés sont concourantes. 
On a dans ce cas Ba=Ca, Cp = Ap, Ay — B y, et la rela 
tion (1) est vérifiée. 
46. Dans un triangle les hauteurs passent par un même point. 
Soient Aa, Bp, Cy les hauteurs du triangle ABC; dans les trian 
gles rectan gles AB a, AC a, nous avons 
et, en ajoutant membre à membre, 
B a 2 — Ca 2 -t-Cp 2 — Ap 2 H- Ay 2 — By 2 = 0; 
cest la relation (1), donc les hauteurs sont concourantes.