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VECTEURS 
et, en retranchant, 
Ik 2 — CF = .VF 2 — A'C 72 +BB' 2 — CC 72 . 
On en déduit, par permutation circulaire, 
cp 2 - xp 2 = Fc 72 - Fa 72 - aa 72 , 
Âÿ 2 — B y 2 = CA 72 — CF 2 + AA' 2 — B B' 2 . 
Ajoutons membre à membre ces trois dernières égalités, 
nous obtenons 
Ba 2 — Ca 2 + Cp 2 — Ap 2 + Ay 2 — Fy 2 = 0, 
ce qui démontre le théorème. 
49. D'un point P pris dans le plan d'un triangle ABC on abaisse 
les perpendiculaires Pa, Pb, Pc sur les côtés BC, CA, AB respecti 
vement-, puis, des points A, B, C on mène les perpendiculaires A ce, B [B, 
Cy sur les côtés bc, ca, ab du triangle abc respectivement. Démontrer 
que les droites A a, B[3, Cy sont concourantes. 
Dans les triangles rectangles A a b, A a c, on a 
ba. 1 = Ab 1 — A a 2 , 
c a 2 == Ac 2 — A a 2 , 
d’où, en retranchant, 
b a 1 — c a 2 — Ab 2 — Ac 2 ; 
on a de même 
c-p 2 — ap 2 = Bc 2 — Ba 2 , 
a y 2 — b y 2 — Ca 2 — Cfr. 
Ajoutons ces trois dernières égalités, nous obtenons 
ba 2 — ca 2 + cp 2 — ap 2 + ay 2 — by 2 = 
— [Ba 2 — Ca 2 + Cb 2 — A b 2 -+- Ac 2 — Bc 2 ]. 
Comme les perpendiculaires Pa, Pb, Pc sont concourantes, le 
second membre est nul ; par suite, le premier l’est aussi, et ceci 
montre que les perpendiculaires A a, B(3, Cy sont concourantes. 
50. Étant donnés deux triangles ABC, A'B'C', démontrer que si les 
perpendiculaires A a, Bp, Cy abaissées des sommets A, B, C du premier 
sur les côtés B'C', C'A', A'B' respectivement du second sont concou 
rantes, les perpendiculaires A'a', B'fV, C'y' abaissées des sommets 
A', B', C' du second sur les côtés BC, CA, AB respectivement du 
premier sont aussi concourantes. 
A