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VECTEURS 
Dans le triangle rectangle BQC' on a 
BC^ BC'I cosB |, 
et dans le triangle BC'C, 
BC'= BC |cosB |; 
on en déduit 
BQ = BC cos 2 B, 
et de même 
CB 1 = BCcos 2 C. 
- Mais les points B t , Q sont toujours situés entre les points B 
et C, puisque les points B' et C' sont situés sur le cercle de 
diamètre BC; on a donc 
BC( = BCcos 2 B, 
CBj = — BC cos 2 C, 
et par suite, la relation (2) nous donne 
B a -f- Ca = BC (cos 2 B — cos 2 C), 
et la relation (1) devient 
Ba 2 — Ca 2 = BC 2 (cos 2 B — cos 2 C), 
ou, en remplaçant BC par a, cos 2 B et cos 2 C par 1 —sin 2 B et 
— sin 2 C, 
B a 2 — C a 2 = a 2 (sin 2 C — sin 2 B). 
On en déduit, par permutation circulaire, 
Cp 2 — Ap 2 = 6 2 ( sin 2 A — sin 2 C), 
A y 2 — By 2 = c 2 (sin 2 B — sin 2 A). 
Ajoutons membre à membre ces trois dernières égalités, nous 
obtenons 
Bâ 2 — Ca 2 + Cp 2 — Âp 2 ■+ Âÿ 2 — TJy 2 = 0, 
car on a 
a b _ c 
sin A sin B sin C 1 
ou 
a sin C = c sin A, asinB = 6sinA, ' 5sinC = csinB. 
Il en résulte que les droites aa', pp% yy' sont concourantes. 
52. Démontrer que la relation (1) du n° 43 peut se mettre sous la 
forme 
a oc. BC —(— 6p. CA —}~ c y .AB — 0, 
a, b, c désignant les milieux des côtés BC, CA, AB respectivement.