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VECTEURS 
Comme le premier membre de (2) est nul, si nous démontrons 
que la somme des premiers membres de (2) et (2) est nulle, nous 
aurons démontré que le premier membre de (2) est nul. 
Tout revient donc à établir que 
Ton a 
A 
[a a + a a') BC -T- (b ¡3 -)- b [3 ) CA 
H- (cy + cy')AB = 0. 
Or 
aa + aa' = 2aa i , 
a t étant le milieu de oca'; de même 
6 p + bf = 2 b$ v 
cÿ + cÿ' — 2cŸ,, 
Pi et Y| étant les milieux de pp' et yy'. 
La relation à démontrer prend la forme 
(3) aa t . BC + 6Pj .CA + c-^. AB = 0. 
Or, les perpendiculaires menées par les points a l5 p 1? y t aux 
côtés BC, CA, AB passent par un même point, le centre O du 
cercle; par suite, la relation (3) est vérifiée, et ceci montre que 
la relation (2)' l’est aussi. 
Deuxième démonstration.— La perpendiculaire menée par a' 
au côté BC est symétrique de a F par rapport à a t O; donc cette per 
pendiculaire rencontre la droite FO au point F', symétrique de F 
par rapport au point O. On verrait de même que les perpendicu 
laires menées par p', y' aux côtés CA, AB passent par le point F'. 
Troisième démonstration. — Il est aisé de voir qu'il existe 
une conique (ellipse ou hyperbole) ayant pour foyer le point F 
et tangente aux côtés du triangle. 
En effet, on sait que le lieu des projections d'un foyer sur les 
tangentes à une conique est le cercle décrit sur Taxe focal comme 
diamètre, cercle qui est appelé le cercle principal de la conique. 
Ce cercle est bien déterminé, car il passe par les points a, p, y; 
son centre O est le centre de la conique. Le deuxième foyer F' 
est le symétrique de F par rapport au point O. 
La conique est ainsi bien déterminée par les deux foyers et la 
longueur de sonaxe focal, qui est égale au diamètre du cercle (O). 
Mais ce cercle est aussi le lieu des projections du point F' 
sur les tangentes; donc les projections a', P', y' du point F' sur 
les côtés du triangle ABC sont situées sur le cercle, et cela 
démontre le théorème.