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ANGLES 
CM'B qui sont égaux; par suite, AMD et AM I> sont supplémen 
taires. Et ceci montre que le cercle circonscrit au triangle AMB 
passe par le point M\ 
04. Droite de Siinson. — 1° Les pieds des perpendiculaires 
abaissées d un point du cercle circonscrit à un triangle sur les côtés de 
ce triangle sont sur une droite, appelée droite de Simson. 
2o Réciproquement, si les pieds des perpendiculaires abaissées d un 
point M sur les côtés d un triangle sont en ligne droite, le point M est 
situé sur le cercle circonscrit au triangle. 
Désignons par a, b, 
c les projections du point M sur les 
côtés BC, CA, AB du triangle ABC. 
1° Supposons que le point M soit sur 
le cercle circonscrit au triangle. Pour 
démontrer que les points a, b, c sont 
en ligne droite, il suffit d’établir l’éga 
lité des angles (57) 
(lì 
(cM, cb) = (cM, ca). 
Comme Mb, Mc sont respectivement 
perpendiculaires à AC, AB, le cercle de 
diamètre AM passe par les points b. c, 
et les quatre points A, M, b, c sont 
sur un cercle; on a donc (62) 
(cM, cb) = (AM, A b) = (AM, AC). 
De même, les points B, M, a, c sont aussi sur un cercle, et 
l’on a 
(cM, ca) — (BM, Ba) = (BM, BC). 
Tout revient donc à démontrer que 
(2) (AM, AC) —(BM, BC); 
cette égalité a lieu, puisque les quatre points A, B, C, M sont 
sur un cercle. 
2° Si les points a, b, c sont en ligne droite, on a la relation (1) ; 
on en déduit la relation (2) au moyen des égalités intermé 
diaires, et celle-ci montre que le point M est sur le cercle 
circonscrit au triangle ABC (*). 
65. Généralisation. — Par un point M situé dans le plan 
d un triangle ABC on mène des droites Ma, Mb, Mc rencontrant les 
(*) Cette démonstration a été donnée par Baltzer.