48 
TRANSVERSALES 
Remarque. — Un peut dire que réciproquement si les trois 
points d’un des groupes indiqués dans l’énoncé sont en ligne 
droite, le triangle ABC est rectangle en A. Car si l’on a 
on en déduit 
p{p — a) _i 
(P — b) (p — c) 
a- = b- -f- c 2 . 
61. Une transversale A rencontre les cotés BC, CA, AB d'un 
triangle ABC aux points a, b, c respectivement ; on prend les milieux 
a', b', c des segments bc, ca, ab. Démontrer que les droites A a', B F, Ce' 
rencontrent les côtés BC, CA, AB respectivement en des points a, p, y 
qui sont en ligne droite. 
Coupons le triangle A bc par les deux sécantes B ¡6 b' et Cye', 
nous obtenons 
A RÂ pF • Fc 
Bc ‘ fX ' Vb~~ ’ 
C b y A c'c | 
CA y c c'b 
Coupons mainte 
nant le triangle Bca 
par les deux trans 
versales Cye' et 
A a a'; nous obtenons deux nouvelles relations, qui peuvent d'ail 
leurs se déduire des précédentes par permutation circulaire : 
CB y c 
C a y B 
Ac a B 
AB a a 
c'a 
c'c 
a'a 
a'c 
Enfin, en coupant le triangle C ab par les droites Acca' et Bp F, 
on a 
AC a a (Db ^ 
Ab a C a'a ’ 
Ba p C b'b 
BC p 6 b'a 
Multiplions ces six égalités membre à membre. Nous voyons 
d'abord que les quantités a a, fib, y c, a'a, Fè, c'c disparaissent, 
car chacune d’elles figure à la fois au numérateur et au dénomi 
nateur du produit.