PÔLES ET POLAIRES DANS LE CERCLE 
Nous avons 
2 \ 1 PA H-PB 2PI, 
PM PÂ + PB PA. FB PA. PB ’ 
ou 
PM . PT = PA. PB = PC. PD. 
Comme le quadrilatère IMOO est inscriptible, on a 
et par suite, 
ou 
ou enfin 
ceci montre que le point O est le conjugué harmonique de P 
par rapport aux points C, D. 
Cinquième démonstration (*). — Soit M' le milieu de PM ; 
comme la division (ABPM) est 
harmonique, on a (111, 13) 
MT 2 == M'Â.ÂPB; 
ceci montre que le point M' est 
situé sur Taxe radical A' du 
cercle (O) et du cercle de rayon 
nul qui a pour centre le point P. 
Cette droite A' est perpendicu 
laire au diamètre PO au point Q', défini par l’égalité 
(1) Q 7 p 2 = Q 7 C.Q 7 D. 
Le lieu du point M est alors la droite A, homothétique de A', 
le centre d’homothétie étant le point P et le rapport d’homo- 
thétie étant égal à 2; A rencontre donc OP au point Q, tel que 
l’on ait 
PQ — 2 PQ' ; 
PM. PI = PQ. PO, 
PQ. PO = PC. PD. 
T Q. - G "t == PC.PD, 
=£=-^= + =1=: 
PQ PC PD 
(*) J. Hadamard, Leçons de géométrie.