16 
PÔLES ET POLAIRES DANS LE CERCLE 
PQ en a, a', et le cercle cherché y a pour diamètre cia'; on en 
déduit aisément le point B. 
2° Si le faisceau F est du deuxième genre, il a deux points 
limites L, IA, et tous les cercles du faisceau F' passent par ces 
deux points. Par suite, le cercle y du faisceau F' qui passe au 
point A est le cercle ALI/, et le point B est le symétrique de A 
par rapport au centre de ce cercle, ou le point de rencontre des 
perpendiculaires à AL, AI/ menées respectivement par les 
points L, L'. 
20. 1° Étanl donnée une division harmonique (ABCD), les polaires 
des points A, B, C, D par rapport à un cercle forment un faisceau 
harmonique. 
2° Étant donné un faisceau harmonique, les pôles des rayons du 
faisceau par rapport à un cercle forment une division harmonique. 
1° Les polaires des points A, B, C, D passent par le pôle I de 
la droite portant la division, et elles sont perpendiculaires aux 
droites qui joignent le centre O du cercle aux points A, B, C, D. 
Comme le faisceau (O.ABCD) est harmonique, le faisceau des 
polaires est aussi harmonique (III, 77). 
2° Démonstration analogue. 
21. Le rapport des distances de deux points au centre d'un cercle est 
égal au rapport des distances de 
chacun de ces points à la polaire 
de Vautre par rapport au cercle. 
Désignons par O le centre 
du cercle, par A, B les deux 
points considérés, par A a la 
distance de A à la polaire de 
B et par Bp la distance de B à 
la polaire de A. Nous voulons 
établir l’égalité 
OA A a 
OB — Bp ' 
Prenons les points A', B' où les droites OA, OB rencontrent 
respectivement les polaires des points A, B. Nous avons 
ÜÂ.OA7 = ÔB.OB 7 -B 2 , 
R étant le rayon du cercle.