QUADRILATERE HARMONIQUE 
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de propriétés intéressantes. Nous allons indiquer les princi 
pales. 
65. Théorème. — I o Les diagonales AB, CD d'un quadrilatère 
harmonique sont des droites conjuguées par rapport au cercle. 
2° Réciproquement, deux cordes conjuguées par rapport à un cercle 
sont les diagonales d’un quadrilatère harmonique. 
I o Soit la division harmonique (ABCD), et soit P le point de 
rencontre des tangentes aux points A, B. Pour démontrer que 
les cordes AB, CD sont conjuguées 
par rapport au cercle, il suffit d'éta 
blir que la droite CD passe par le 
pôle P de la droite AB (5). 
Nous avons vu plus haut que le 
faisceau (A.PBCD) est harmonique; 
on démontrerait d’une manière ana 
logue qu’il en est de même du fais 
ceau (B.PACD). Les deux faisceaux 
harmoniques (A.PBCD) et (B.PACD) 
ont un rayon commun AB ; par suite, 
(III, 75) les rayons correspondants 
(AP, BP), (AC, BC), (AD, BD) se coupent deux à deux aux 
points P, C, D qui sont en ligne droite. 
Donc la droite CD passe par le point P. 
On en conclut que la droite AB passe par le pôle Q de CD : 
on pourrait d'ailleurs le démontrer par une méthode analogue. 
2° Béciproquement, supposons que la corde CD passe par le 
pôle P de AB, nous allons démontrer que la division (ABCD) 
est harmonique. 
Soit H le point de rencontre de AB et de CD. Puisque le 
point P est le pôle de AB, la division (PHCD) est harmonique; 
donc le faisceau (A.PIICD), ou (A.ABCD), est harmonique, et 
ceci montre que la division (ABCD) est harmonique. 
66. Conséquence. — Étant donnés trois points A, B, C sur un 
cercle, on peut construire le conjugué harmonique D du point 
C par rapport aux points A, B de la façon suivante : 
On joint le point C au pôle P de la corde AB; la droite PC 
rencontre le cercle au point C et en un autre point D, qui est 
le point cherché.