RAPPORT ANHARMONIQUE li’UN FAISCEAU DE QUATRE PLANS 97 
Papelieh. — Ex. Géom. mod.., V. 
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Troisième démonstration. — i° Supposons d’abord que les 
droites L, L' soient dans un même plan P, qui rencontre A au 
point 0. Le faisceau de droites (O.ABCD), situé dans le plan P, 
est coupé par la droite L' aux points A', B', C', D' et 1 on a 
(ABCD) = (A'B'C'D'). 
2° Supposons maintenant que L, L' ne soient pas dans un 
même plan. En joignant un point quelconque de L à un point 
quelconque de L', nous obtenons une nouvelle sécante L", qui 
rencontre les plans P lt P. 2 , P 3 , P 4 aux points A", B", C", D". 
Gomme L et L" sont dans un même plan, on a 
(ABCD) = (A"B"C"D") ; 
comme L' et L" sont dans un même plan, on a 
(A'B'C'D') = (A"B"C"D"); 
on en déduit 
(ABCD) = (A'B'C'D'). 
Ce théorème peut encore s’énoncer de la façon suivante : 
123. Si Von coupe un faisceau de quatre plans P t , P 2 , P 3 , P i par une 
sécante quelconque L, qui rencontre ces plans aux points A, B, C, D 
respectivement, le rapport anharmonique (ABCD) a une valeur cons 
tante, quelle que soit la sécante. 
124. Cette valeur constante est appelée le rapport anharmonique 
du faisceau dans l'ordre PiP 2 P 3 P/,.; on le représente par l’écriture 
(PjP 2 P3P4), ou encore par (A.a^yS), A désignant l’axe du faisceau, 
et oc, ¡3, y, S étant des points choisis d’une manière quelconque 
respectivement dans les plans P t , P 2 , P 3 , P 4 . 
On a donc par définition 
(PiPaPgPi) = (A.apyS) = (ABCD). 
125. Il en résulte qu’un faisceau de quatre plans (comme 
un ensemble de quatre points en ligne droite, ou un faisceau 
de quatre droites) admet vingt-quatre rapports anharmoniques, 
dont six seulement sont différents, cinq d’entre eux étant fonc 
tions du sixième.