RAPPORT AN HARMONIQUE DE QUATRE POINTS 
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12. On voit ainsi que les six rapports anharmoniques consi 
dérés sont en général distincts, et que si l’on connaît la valeur 
de l’un quelconque d’entre eux, on connaît aussi la valeur des 
cinq autres. En d’autres termes, cinq de ces rapports sont 
fonctions du sixième. 
On peut alors dresser le tableau suivant des valeurs des 
vingt-quatre rapports anharmoniques de quatre points quel 
conques : 
(ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCBA) = p, 
(ACBD) = (BDAC)— (CADB) = (DBCA) = 1 — P , 
(CABD) = (BDCA) = (ACDB) = (DBAC) = t— 1 —, 
1 p 
(BACD) = (CDBA) = (ABDC) = (DCAB) = -, 
(B CAD) = (ADBC) = (CBDA) = (DACB) = 1 — i, 
(CBAD) = (ADCB) = (B CDA) — (DABC) 
Voici un exercice qui intéressera le lecteur familiarisé avec 
la théorie des équations algébriques. 
13. Former l'équation du sixième degré qui admet pour racines les 
six rapports anharmoniques de quatre points. 
Nous avons vu (il) qu’à toute valeur a d’un des rapports 
1 
correspondent la valeur - et la valeur 1 — a. 
Par conséquent, l’équation cherchée doit être telle que si 
y 
elle admet la racine a, elle admet aussi les racines - et 1 — a. 
a 
Nous voyons déjà que cette équation est réciproque. 
De plus, deux racines telles que a et 1 — a sont racines d’un 
trinôme de la forme x 2 — x + A, en posant X=a(l— a); par 
conséquent, le premier membre de l’équation cherchée sera le 
produit de trois trinômes analogues, et cette équation pourra 
s’écrire 
(x 2 — x + X) (x 2 — x + g) (x 2 — x H- v) — 0, 
ou, en ordonnant par rapport à x 2 — x, 
(x 2 — x) 3 H- A (x 2 — x) 2 + B fx 2 — x) H- C = 0,