rapport anharmonique 
oi 
63. On donne an triangle ABC, un point A' sur BC, un point B' sur 
CA, un point C' sur AB, tels que les droites AA', BB', CC' soient 
concourantes. Par les j)oints A', B', C' 
on mène les secondes tangentes A 'a, 
B'p, C'y au cercle inscrit au triangle, 
a, (3, y étant les points de contact. 
Démontrer que les droites A a, Bp, 
Cy sont concourantes. 
Désignons par D, E, F les points 
où le cercle touche les côtés BC, 
CA, AB, et par D', E', F' les points 
de rencontre (Aa, BC), (Bp, CA), 
(Cy, AB). 
D’après le théorème établi précédemment (62), on a 
DB ÎÿB^ÂB 2 . 
DC IFC ATT 2 ’ 
on aurait de même 
EC CC = CC \ 
EA ' WA ~ WA 2 ’ 
fa câ_ca 2 
FB FB — CB 2 ’ 
Multiplions ces trois égalités membre à membre, nous obte 
nons 
/DB EC FA\ /DTB CC FÂ\ __ /ÂTf ICC CA\ 2 
\Dc ’ ëâ ’ fb; vire ’ câ ’ cïï/ Va'c ’ bâ; ’ ub) 
La première parenthèse est égale à — 1, car on sait que les 
droites AD, BE, CF sont concourantes (II, 16); le second mem 
bre est égal à +1, puisque les droites AA', BB', CC' sont con 
courantes. On a donc 
LFB CC CA 
tfc’câ’cb” 
et ceci montre que les droites AD', BE', CF' sont concourantes. 
64. On donne un angle xOy et quatre points en ligne droite 1, 2, 3, 4. 
Par le point 1 on mène une sécante quelconque qui coupe en A, B les 
côtés Ox, Oy de l'angle. Les droites 2A, 3B se rencontrent au point C, 
et la droite 4C coupe AB au point M. Trouver le lieu géométrique du 
point M. 
A