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RAPPORT ANHARMONIQUE 
points D', D". Tout revient à établir que D', D" sont confondus. 
En coupant les deux faisceaux par la sécante AB, nous avons 
(O. A 1 A 2 A 3 A 4 ) — (ABCD'), 
(O'.a^aXH^abcd"). 
Comme les premiers membres sont égaux par hypothèse, les 
seconds le sont aussi; on a donc 
(ABCD') = (ABCD"), 
et ceci montre que les points D', D" sont confondus. Par suite, 
la droite BC passe par le point D. 
Ces deux théorèmes sont corrélatifs, c’est-à-dire ils se dédui 
sent l’un de l’autre par polaires réciproques ou d’après le 
principe de dualité. Cela résulte immédiatement de ce qu’on a 
vu au n° 55. 
Nous les utiliserons fréquemment dans ce qui va suivre pour 
résoudre un très grand nombre d’exercices. 
Nous commencerons par démontrer deux théorèmes célèbres 
déjà établis précédemment : le théorème des triangles homo- 
logiques (II, 24) et les théorèmes de Pascal (II, 25) et de 
Brianchon (IV. 83). 
69. Triangles homologiques. — Soient deux triangles ABC, 
A'B'C', situés dans un même plan ; désignons par oc le point de rencontre 
des côtés BC, B'C', par [3 celui de CA, C'A', par y celui de AB, A'B'. 
1° Si les droites AA', BB', CC' sont concourantes, les points oc, ¡3, y 
sont en ligne droite. 
2° Réciproquement, si les points oc, P, y sont en ligne droite, les 
droites AA', BB', CC' sont concourantes. 
Nous avons vu (IV, 77) que ces deux propriétés sont corréla 
tives : nous donnerons néanmoins une démonstration directe 
de chacune d’elles. 
1° Supposons que les droites AA', BB', CC' passent par un 
même point O. 
Soient D et D' les points où les côtés AB et A'B' rencontrent 
la droite OCC'. Si nous coupons le faisceau (O.AByD) par les 
sécantes AB, A'B', nous avons 
(AByD) = (A'B'y D'),