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RAPPORT ANHARMONIQUE 
Considérons un hexagone convexe ou concave dont les côtés 
sont tangents à un cercle. Supposons qu’un mobile décrive le 
périmètre dans un sens 
quelconque, et numéro 
tons les sommets dans 
l’ordre où le mobile les 
rencontre; nous obte 
nons ainsi les sommets 
1, 2, 3, 4, 5, 6. Les som 
mets opposés sont (1,4), 
(2,5), (3,6). Nous allons 
démontrer que les droi 
tes 14, 25, 36 sont con 
courantes. 
Les côtés opposés de 
l’hexagone sont (12, 45), 
(23, 56), (34, 61). 
Prenons deux côtés quelconques, qui ne soient ni opposés, 
ni consécutifs, par exemple 12 et 34; puis, coupons ces côtés 
par les quatre autres côtés de l'hexagone 23, 45, 56, 61. Le 
côté 12 est coupé aux points 2, G, H, 1, et le côté 34 aux 
points 3, 4, K, L, et nous avons (50) 
(2GH1) = (34KL). 
Joignons les points de la première division au sommet 5 qui 
est séparé du côté 12 par un seul côté et qui n’est pas situé sur 
le côté 34; puis, joignons les points de la seconde division au 
sommet 6 qui est séparé du côté 34 par un seul côté et qui n’est 
pas situé sur le côté 12. Nous avons 
(5.2GH1) = (6.34KL). 
Voilà deux faisceaux qui ont même rapport anliarmonique et 
deux rayons homologues confondus, 5H et 6K; donc, les points 
de rencontre des autres rayons homologues (52, 63), (5G, 64), 
(51, 6L) sont en ligne droite. 
Or, 5G, 64 se coupent au point 4; 51, 6L au point 1; on en 
conclut que la droite 14 passe par le point de rencontre des 
droites 25 et 36, ce qui démontre le théorème. 
Remarque I. — On peut présenter cette démonstration de 
plusieurs manières, puisqu’on peut choisir arbitrairement les 
deux tangentes, qui ne sont ni opposées, ni consécutives. 
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