TRIANGLES HOMOLOGIQUES 
7d 
2° On a (7) 
(AOM'N') = (OAN'M'), 
et par suite 
(OBMN) = (OAN'M'). 
Ces deux rapports anharmoniques égaux ont un point homo 
logue commun, donc les droites BA, MN', NM' sont concou 
rantes. 
Mais on a démontré (76) que la droite gv passe par le point 
de rencontre de MN', NM'. Par suite, la proposition est établie. 
C' 
A 
89. On considère un triangle ABC et une transversale gui rencontre 
BC en a, CA en p, AB en y. Soit A' le point de rencontre de Bp, Cy, 
B' celui de Cy, A a, C' celui de Aa, Bp. 
Démontrer que les droites A 'a, B'p, CC' 
sont concourantes. 
Les triangles apC et A'B'C' sont 
homologiques (69), car les côtés ap, 
A'B' se coupent au point y, les côtés 
PC, B'C' au point A, les côtés Ca, C'A' 
au point B, et les trois points y, A, B 
sont en ligne droite. 
On en conclut que les droites 
A'a, B'p, C'C qui joignent les som 
mets correspondants sont concourantes. 
Cette propriété a déjà été établie (III, 33). 
90. On donne un triangle ABC et un point O dans son plan; les 
droites OA, OB, OC rencontrent respecti- 
/* vement les côtés BC, CA, AB aux points 
/// A', B', C'. Démontrer que les points 
(OA, B'C'), (OB, C'A'), (AB, A'B') 
sont en ligne droite. 
Les triangles OAB, C'B'A' sont 
homologiques, car les droites OC', 
AB', BA' passent par un même point 
C; donc les points (OA, C'B'), 
(OB, C'A'), (AB, B'A') sont en ligne 
droite. 
Ce théorème est le corrélatif du précédent.