THÉORÈME DE PASCAL 
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113. On dorme deux triangles équilatéraux ABC, DBG ayant le 
côté commun BC; par le point D on mène une sécante variable rencon 
trant AB en E, AC en F; les droites CE, BF se coupent au point M. 
Trouver le lieu géométrique du point M. 
D’après le théorème précédent, le lieu cherché est le cercle 
circonscrit au triangle ABC, puisque le point D est le point de 
rencontre des tangentes à ce cercle aux points B et C. 
Cette question a déjà été résolue (III, 108) et (IV, 28). 
114. On donne un cercle, un point P dans son plan et un point I 
situé sur le cercle. Par le point P on mène trois sécantes quelconques 
P AA', PBB', PCC'. Démontrer que les droites IA', IB', IC' rencontrent 
respectivement les droites BC, CA, AB en des points a, P, y, qui sont 
sur une même droite passant par le point P. 
Considérons l’hexagone inscrit dont les sommets se succèdent 
A' 
(X 
suite, les points a, 6, y, P sont 
dans l’ordre ÎA'ABCC'I, et 
appliquons-lui le théorème 
de Pascal. Les points 
a (IA', BC), P (A'A, CC'),y 
(AB,C'I)sonten ligncdroite. 
En considérant de môme 
les hexagones IB'BCAA'I et 
IC'CABB'I, on voit d une 
manière analogue que les 
points ß, P, a sont en ligne 
droite, ainsi que les points 
T, P, ß- 
Comme chacune des 
droites Pßy, P y oc, Paß a 
deux points communs avec 
les deux autres, ces trois 
droites coïncident, et par 
en ligne droite (*). 
Remarque. — Si l’on transforme ce théorème par polaires 
réciproques en prenant le cercle donné comme cercle directeur, 
on obtient le théorème corrélatif suivant. 
(*) P. Aubert, Nouvelles Annales de Mathématiques, 1889, p. 529.