zusammenhängender Raum. 
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§ 4.] 
Raum einer Hohlkugel. Zweifach zusammenhängend ist a) ein 
ringartiges Gebilde, b) der Raum, welcher übrig bleibt, nach 
dem ein solches aus einem einfach zusammenhängenden Raum 
herausgeschnitten ist. 
Ein einfach zusammenhängender Raum r hat die Eigen 
schaft, dass sich durch jede geschlossene Curve l, welche 
ganz in r verläuft, stets eine Fläche L legen lässt, Avelche 
ebenfalls ganz in x liegt, und l zur vollständigen Begrenzung 
hat. Für einen mehrfach zusammenhängenden Raum gilt 
dies nicht: 
a) durch eine geschlossene Curve im Ringkörper, welche 
den Ring durchläuft, lässt sich keine Fläche begrenzen, 
welche ganz im Ringkörper liegt. Jede geschlossene Curve 
aber, welche im aufgeschnittenen Ringkörper noch möglich 
ist, lässt sich durch eine ganz in ihm gelegene Fläche aus 
füllen. — 
b) Eine Curve, welche den Ring umschlingt, lässt sich 
durch keine Fläche ausfüllen, welche nicht den Ringkörper 
durchbricht. Wenn aber der Aussenraum durch einen Quer 
schnitt, — er hat die Form einer dem Ring angehefteten 
Membran, — einfach zusammenhängend gemacht ist, so sind 
in dem auf solche Weise neu begrenzten Raum keine den 
Ring umschlingenden Curven mehr möglich. 
Können wir nun durch eine in x gegebene, geschlossene 
Curve eine ganz in x liegende Fläche begrenzen, so zerlegen 
wir diese durch zwei Curvenschaaren in rechtwinklige Elemente; 
für die Randcurve jedes Flächenelements gilt (b). Wir ad- 
diren alle Gleichungen von der Form: 
JK t dl — 0 • dL 
O 
und beachten, dass jedes Linieneiement (s.Fig. 19 a.f. S.), welches 
zwei Flächenelemente trennt, zweimal in entgegengesetzter 
Richtung durchlaufen wird, dass also links nur das Integral 
über die vorgelegte Curve übrig bleibt. So folgt (b'). Also: 
(b') folgt aus (b), wenn die Construction für jede geschlossene 
Curve in r möglich ist, — d. h. wenn x einfach zusammen 
hängend ist. Ist x mehrfach zusammenhängend, so ist die