16. Das Dualitätsprinzip.
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beilegen, dann bestimmen sie einen Punkt P i- 13 ^ ... und
können Uj ... als variabel aber durch 1) gebunden be
trachten, dann erhalten wir unzählig viele Geraden, die alle
durch den Punkt gehen. Da jede Gerade, welche durch P
geht, sich auf die Form 1) bringen läfst (mit der Marke p
an den s) und nur diese, so kann 1) angesehen werden als
die Gleichung des Punktes P in Linienkoordinaten.
: ff 3 ,... bezw. öj, <r 2 , cf 3 . Dieselbe Gleichung stellt
also, je nachdem wir willkürlich die o fest und die
s variabel, oder die s fest und die o variabel be
trachten, also je nach unsrer Auffassung, eine
Gerade oder einen Punkt dar.
Hierin liegt der analytische Ausdruck des von Poncelet
zuerst ausgesprochenen, von Gergonne formulierten wichtigsten
Princips der heutigen Geometrie, des Dualitätsprincips.
Wir sehen, heifst dies, in der Ebene die Gerade eben
so gut als Grundelement an wie den Punkt, und
indem wir die Worte: Punkt und Gerade vertauschen,
tritt zu jedem Satz ein entsprechender dualer
hinzu, der aber gelegentlich mit dem ersten zu
sammen fallen kann, wie z. B. der Satz: Schneidet
man 4 Strahlen eines Büschels (Punktes) durch 4 Punkte
einer Reihe (Gerade), so sind die Doppelverhältnisse gleich.
Aufgabe 1. Jede in Linienkoordinaten lineare
Gleichung stellt einen Punkt dar.
Aufgabe 2. Die Linienkoordinaten t u. b der Form 7 a
§12 durch die o auszudrücken, desgl. die Gröfsen a und b
der Form 6), desgl. die Hesse’sehen Koordinaten.
Aufgabe 3. WelchenPunkt stellt—o 1 2-j-a 2 3—o- 3 dar?
Aufgabe 4. Welchen o- 3 s 3p =:0, s 3p ^0? Antw. 0.
Aufgabe 5. Wenn die Konstanten s der Gleichung
eines Punktes eine unveränderliche Zahl, einen Parameter,
Ä im ersten Grad enthalten, so liegen alle Punkte, welche die
Gleichung darstellt, auf Einer Geraden (vgl. Aufgabe 7 S. 55).
Giebt man in o x (®i P “I - ^ Si q ) -}- 02 (®2p ~f~ ^s-2q) -j- 03 (s 3p
-f- s 3q) — 0 dem l einen bestimmten Wert, so stellt sie einen
Punkt S dar, dessen Punkt-Koordinaten Slp - ~j~y'— ... und
S 3p ~r ^ s 3q
