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48 Rauhala, U. 
USA 
A review of array algebra 
Aperçu de /’ ’’Algèbre-Array” 
Ein Überblick über die Array-Algebra 
Array algebra is a concept gen 
eralizing conventional vector, 
matrix and tensor algebra. It 
deals with systems of multilinear 
equations that are at the base 
of the ’’fast” solution algorithms 
like the FFT. An array solution 
of N = ni parameters takes in N 
operations. Estimation using ar 
ray algebra is based on the theo 
ry of loop inverses, which is an 
extension of the generalized 
matrix inverses. It compares, 
clarifies and generalizes the 
statistical concepts (i.e., BLUE, 
BLMBE etc.) as defined by Rao. 
A multilinear function theory, 
the array prediction using co- 
variance functions, is the main 
application of the array estima 
tion. It includes Moritz’s collo 
cation, Wiener-Hopf prediction, 
Hardy’s multiquadric functions 
and multilinear polynomials as 
special cases. It is based on 
banded R-matrices. With it, a 
solution of N = ni parameters 
takes only ^ 10 i N operations. 
This means unbelievable savings 
in computation and core space 
requirements compared with the 
conventional case. For example, 
a solution of the bi-linear array 
equation of N = 1000 2 = 106 pa 
rameters requires only ten (10) 
minutes computing time if one 
operation takes 30 ¡as. Using the 
conventional technique, only 
N = 1000 parameters would al 
ready take N 3 30 ,us <=* 8.3 hours 
computing time, and the same 
core space as the array solution 
of N = 1000 2 parameters. 
The earlier publications, Rauha 
la 1972, 1972b, 1974, 1975, writ 
ten after the invention of the 
array calculs in 1970, mainly 
presented the building blocks of 
the new technique. As a neces 
sary evil, this was done by intro 
ducing new notations and defi 
nitions. This paper offers a more 
intuitive presentation by review 
ing the Array Algebra overall and 
describing the main steps in its 
development. 
L’”Algèbre-Array” est un con 
cept généralisant l’algèbre con 
ventionnel vectoriel, matriciel 
et tensoriel. Ce sont des sys 
tèmes d’équations multilinéaires 
qui sont à la base d’algorithmes 
de résolution rapide comme le 
FFT. Une solution pour un 
nombre N de paramètres où 
N = n' comprend in N opérations. 
L’Algèbre-Array utilisant l’esti 
mation est basé sur la théorie 
des ’’Loops inverses” (opérateurs 
de résolution pour calculs de 
compensations), qui sont une 
extension des inverses matri 
ciels généralisés. Il compare, 
clarifie et généralise les con 
cepts de statistique (BLUE, 
BLMBE, etc.) définis par Rao. 
Une théorie de fonction multili 
néaire, soit ’’Prédiction Array”, 
utilisant des fonctions cova 
riantes, est la principale applica 
tion de ’TEstimation-Array”. Elle 
comprend les cas spéciaux de 
la collocation de Moritz, la pré 
diction de Wiener-Hopf, les 
fonctions multiquadriques et 
les polynômes multilinéaires de 
Hardy. Elle se base sur les 
’’Matrices R” (banded) et la ré 
solution de paramètres N = n¡ 
ne comprend que^lOi N opé 
rations. On y gagne incroyable 
ment en volume de calcul et en 
espace-mémoire nécessaire par 
rapport au cas conventionnel. 
Par exemple, la résolution par 
ordinateur numérique de l’équa 
tion array de N = 1000 2 = 10 6 
paramètres n’exige que dix mi 
nutes quand une opération prend 
30 ¡as. Avec la technique con 
ventionnelle, rien que N = 1000 
paramètres prendrait déjà N 3 
30 us » 8.3 heures et le même 
espace-mémoire que la solution 
’’Array” de N = 1000 2 paramètres. 
Les publications précédentes, 
Rauhala 1972, 1972b, 1974, 1975 
rédigées après l’invention du 
calcul array en 1970, présen 
taient principalement les blocs 
de construction de la nouvelle 
technique. Mal nécessaire: l’intro 
duction de nouvelles notations 
et définitions. Cette communi 
cation offre une présentation 
plus intuitive en faisant une 
revue générale de l’Algèbre- 
Array et décrivant les princi- 
Die Array-Algebra ist ein Ver 
fahren, das die gebräuchliche 
Vektor-, Matrix- und Tensor-Al 
gebra verallgemeinert. Sie ar 
beitet mit Systemen mehrfach 
linearer Gleichungen, die Grund 
lage sind für die ’’schnellen” 
Lösungsalgorithmen wie z.B. 
FFT. Die Lösung eines Arrays 
von N = ni Unbekannten benötigt 
i-n-N Operationen. Die Schätz 
verfahren, welche die Array-Al 
gebra benutzen, beruhen auf der 
Theorie der Loop-Inversen, die 
eine Erweiterung der allgemei 
nen Matrizeninversen sind. Die 
Hauptanwendung der Array- 
Schätzverfahren ist eine mehr 
fachlineare Funktionstheorie, 
nämlich die Array-Prädiktion mit 
Kovarianzfunktionen. Sie schliesst 
die Kollokation nach Moritz, die 
Prädiktion nach Wiener — Hopf 
und die mehrfachquadratischen 
Funktionen und mehrfachlinea 
ren Polynome von Hardy als 
Spezialfälle ein. Damit benötigt 
die Lösung von N = ni Unbekann 
ten nur «10-i-N Operationen. 
Das bedeutet eine unglaubliche 
Reduzierung der Rechenzeit und 
des Kernspeichers, verglichen 
mit dem konventionellen Fall. 
So benötigt z.B. die Lösung ei 
ner bilinearen Array-Gleichung 
mit N = 1000 2 = 10 6 Unbekannten 
nur 10 min. Rechenzeit, wenn 
eine Operation 30 Mikrosekun 
den dauert. Beim konventionel 
len Verfahren würden lediglich 
N = 1000 Unbekannte bereits N 3 . 
30 u sec. 8,3 Std. Rechenzeit 
und denselben Speicherplatz be 
nötigen. 
Die früheren Veröffentlichungen 
Rauhala 1972, 1972b, 1974, 1975 
die nach der Erfindung der Array- 
Rechentechnik 1970 geschrieben 
wurden, beschäftigten sich haupt 
sächlich mit den Bildungsge 
setzen dieser neuen Technik. 
Als notwendiges Übel mussten 
hierzu neue Schreibweisen und 
Definitionen eingeführt werden. 
Dagegen stellt die vorliegende 
Veröffentlichung eine anschau 
lichere Zusammenfassung der 
Array-Algebra dar.