2. Der Diskontinuitätsbereich der Modulgruppe 
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Die Größe 
a + d — ]/(a + d) 1 — 4 
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ist eine-Einheit des quadratischen Körpers von ]/(« -f- d) 2 — 4. Denn ist 
s' die konjugierte, so ist s ■ s' = 1, und s ist eine ganze Zahl, da es der 
ganzzahligen Gleichung: 
£ 2 — (a + d) s -f 1 = 0 genügt. 
Da s =j= + 1 ist, so sind die Potenzen von s alle voneinander ver 
schieden und ergeben unendlich viele verschiedene Einheiten. Der Grad 
von 8 ist unendlich. 
Wir werden uns von nun an darauf beschränken, die Abbildung in 
der oberen Halbebene zu betrachten. Die Verhältnisse in der unteren 
Halbebene sind symmetrisch zur reellen Achse und werden durch Spie 
gelung zu derselben erhalten. Der Untersuchung sei nicht nur ein S f 
sondern eine der Gruppen (Sh”* des § 1 zugrunde gelegt. 
1. Definition: Zwei Punkte z und z heißen ähnlich in hezmj auf 
z ~z, 
wenn es ein S von @ gibt, so daß: 
z = Sz. 
Diese Definition ist sinnlos, wenn aus ihr nicht folgende Eigen 
schaften hervorgehen; Jeder Punkt ist sich selbst ähnlich; aus z ~ z 
folgt z ~ z, und aus z ~ z, z ~ z folgt z ~ z. Das erste verlangt, daß 
E in @ ist; das zweite, daß zu jedem S auch in @5 liege; das dritte, 
daß ein 8, das aus zwei S von @ zusammengesetzt ist, wieder in ($ liege. 
Dies sind aber nichts anderes, wie die Gruppeneigenschaften a), b), c) 
von S. 1, die für © nach Voraussetzung erfüllt sind. Die Ähnlichkeit 
ist die geometrische Auswertung des Gruppenbegriffes. Wir heben die 
eine Eigenschaft besonders hervor: 
3. Satz: Wenn zwei Punkte einem dritten ähnlich sind, so sind sie 
untereinander ähnlich 
2. Definition: Ein Bereich von Punkten mit der Eigenschaft, daß 
jeder Punkt der Ebene einem und nur einem Punkt desselben ähnlich ist 
in bezug auf die Gruppe Ob, heißt der Biskontinuitätsbereich von @. 
Nach der Definition kann kein Punkt des D.-B. einem seiner anderen 
Punkte ähnlich sein. Unsere Aufgabe wird es sein, den D.-B. für die 
Modulgruppe und ihre Untergruppen anzugeben. 
Hierzu greifen wir aus @ irgendein S heraus und betrachten seine 
Potenzen S k , k = 0, + 1, + 2,.,., wo S° = E sei. Alle diese Substitu 
tionen bilden eine Untergruppe Ob (8) (dieselbe besitzt keinen endlichen 
Index). Welches ist der D.-B. von Ob(8)?