i§7
§8]
Die Methode der kleinsten Quadrate
21
; Gleichungen
hissen sie die
in auch eine
rücksichtigen,
vorhin ange-
nan die Glei-
rleichung (i8 a )
izahl der Un-
ng, so wendet
die gesuchten
lde man noch
r ins Quadrat
8. Auflösung der Normalgleichungen. Mittlere Fehler der Unbekannten.
Bei den in der sphärischen Astronomie vorkommenden Aufgaben handelt es sich
gewöhnlich um Normalgleichungen mit 2, 3 oder 4 Unbekannten. Die Auflösung
dieser Gleichungen erfolgt nach demselben Prinzip; aus didaktischen Gründen soll aber
die Auflösung der Normalgleichungen mit 3 Unbekannten voraufgestellt werden.
I. Normalgleichungen mit 3 Unbekannten. Die Normalgleichungen seien
aa]x + [ab]y + \ae]x = [an]
(22) \ab]x + [bb]y + [bc]x = [bn]
ac]x + [bc]y -f- [cc]x = [cn]
Multipliziert man die erste Gleichung mit und subtrahiert das Produkt von der
zweiten Gleichung, so erhält man, wenn zur Abkürzung
22
166 ]
[ab][ab] _ FAIil ^ [ab][ac] = , _ [ab][an]
[aa]
= [ bb\, [bc]
\aa \
aa\
= [bn\
gesetzt wird,
22'
[bb] t y + [bc] t x = [bn\
\ac \
Multipliziert man die erste Gleichung (22) mit i- und subtrahiert das Produkt von
der dritten Gleichung (22), so folgt, wenn
22 '
M-W = W,
M - [g flW. = [oni
[ad] L ““ J i ’ L “" J [aa\
gesetzt und die zweite Gleichung (22 x ) berücksichtigt wird,
22
22 '
\bc\y + [cc\x = [cn\
Wenn man jetzt das Produkt aus (22*) und
[bc\
№
von (22 4 ) subtrahiert und
- ,; tfr = [ccl
[«]. -=[«.]
setzt, so erhält man die zur Bestimmung von x dienende Gleichung
(2 2 6 ) \CC\Z = [Cn\
Es läßt sich nun zeigen (vergl. Oppolzer , Lehrbuch der Bahnbestimmung,
II. Band, S. 353 ff.), daß der Koeffizient cc] 2 gleichzeitig das Gewicht von z angibt;
wenn also e den mittleren Fehler der Gewichtseinheit bedeutet, so ergibt sich für
den mittleren Fehler von x
W E(x) = —L= .
k[cc] 2
Die zur Berechnung von e dienende Gleichung soll hier ohne Beweis mitgeteilt
werden; ihre Ableitung findet man bei Oppolzer , a. a. 0 ., S. 336ff. Man bilde zunächst
(2 2 °)
nn
nn —
[an] [an]
aa
\nn\— \nn\ —
[bn\ [bn\
[bb\
[nn] = nn\
[c n\[en\
[cc] a
