Full text: Die Reihenfolge der Elemente bei den Versetzungen mit und ohne Wiederholungen aus einer oder mehreren Elementen-Reihen und ihre Anwendung auf Wahrscheinlichkeits-Rechnung

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! (p-2k-HXm-2k+l) _ (p-2k) Çm-2k) 
' m ak m ak+1 
(p-3k-f-l) 3il (m-k+l) s Q (p-3k) (m-k+l)’(m-k) (p-Sk-O^On-k-flXm-k) 2 
m 3k ° l 3 ' 1 m 3k+l *~ ô l 3 ' 1 m 3k+a 
u. s. w. 
Durch Benutzung der Gleichungen 16 und 17 ergibt sich die 
Wahrscheinlichkeit, dafs hintereinander k Kugeln in der Reihenfolge der 
Zahlen wenigstens r mal, oder wenigstens r mal und höchstens s mal 
erscheinen werden. Wird nur eine Gruppe von den in 1 bezeichneten 
herausgehoben, so wird m-k+1 = 1, und m—k, m—2k-j-l,.... geht in 
o über. Dann ergibt sich folgende Gleichung aus 18 
,0. w _ p±h _ ü^k+ÜÜ 1 + Cp- 3k +i) 311 _ 
J j^2|l ' pl 1 JQ 31t 
Sie bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dafs k bestimmte Kugeln in 
der Reihenfolge der Zahlen^ oder was dasselbe ist, überhaupt in einer 
bestimmten Ordnung wenigstens einmal in p Ziehungen erscheinen wer 
den, wenn unter den obigen Bedingungen aus der Urne gezogen wird. > 
Wird k n m in 18 oder 19 gesetzt, so ergibt sich die Wahrscheinlich 
keit, dafs alle Kugeln in einer bestimmten Ordnung erscheinen werden. 
2m w _ P-m+1 _ Cp-2m+l) a|1 , (p-3m-fl) 311 _ * 
^ jpni ^211 j^2in "T* *1 ^ 11 
Die Versetzungen mit Wiederholungen aus r Elementen-Reihen, von 
denen jede m verschiedene Elemente zählt, werden zur p ten Klasse ge 
bildet. Wie grofs ist die Zahl der Gruppen, worin k Elemente in der 
Ordnung ihrer Stellenzahlen hintereinander erscheinen? 
* Dieser besondere Fall (20) des oben vorgelegten allgemeinen Problems, der 
sich ans den unter a, b, c, gemachten Bemerkungen auf eine ganz einfache 
Weise ableitet, wurde von Laplace in dem Vllten Bande der Mémoires de Mathém. 
et Phys, présent, à l’Académ. roy. d. Sciences 1773 (Probl. XII) mittelst Integra 
tion endlicher Differenzialgleichungen und von J. Trembley im lOten Hefte des 
Archivs der r. und a. Mathem. v. Hindenburg (1799) mittelst der Methode der wie 
derkehrenden Reihen, mit Darlegung grosser Gewandtheit im hohem Calcul, entwi 
ckelt. Die Vergleichung der hier gegebenen Resultate mit den dort mitgetheilten, dürfte 
zeigen, dass in vielen Fällen die Combinationen Mittel bieten, die Probleme nicht 
nur allgemeiner, sondern auch einfacher zu behandeln.
	        
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