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Erstes Kapitel. 
Endlich soll hier noch die folgende wichtige Bemerkung ange 
schlossen werden: Für den Bereich der rationalen Zahlen sind die Ad 
dition und die Multiplikation die gewöhnlich so bezeichneten be 
kannten Operationen, und das Gleiche gilt von den inversen Opera 
tionen, der Subtraktion und der Division. Da sich aber alle Gesetze 
des elementaren Rechnens allein aus den sieben oben angegebenen 
Grundgesetzen als rein logische Folgerungen ergeben, so bleiben diese 
Rechengesetze unverändert bestehen, wenn man statt des Bereiches 
der rationalen Zahlen irgendeinen anderen Bereich betrachtet und 
Addition und Multiplikation irgendwie anders definiert, vorausgesetzt 
nur, daß auch für diese anders definierten Operationen jene sieben 
Grundgesetze gültig bleiben. Von dieser Tatsache wird im folgenden 
sehr häufig Gebrauch gemacht werden. 
§ 2. Die Körper, 
Der soeben betrachtete Bereich der rationalen Zahlen bietet das 
erste Beispiel für einen sog. Körper. Wir werden diesem Begriff 
in der Folge so häufig begegnen, daß es sich empfiehlt, gleich hier 
eine ganz allgemeine Definition desselben zu geben. Es sei uns ein 
Bereich 
K {a, b, c,.,.) 
von irgendwelchen Elementen gegeben (z. B. der vorher betrachtete 
Bereich aller rationalen Zahlen oder der Bereich aller reellen Zahlen); 
ferner seien für diese Elemente zwei Verknüpfungsoperationen definiert, 
die wie vorher Addition und Multiplikation genannt werden sollen und 
mittels derer aus je zwei beliebigen Elementen des Bereichs K stets 
eindeutig abermals ein Element desselben Bereiches K gewonnen wird. 
Gelten dann für diese beiden Operationen die sieben vorher ange 
gebenen Grundgesetze, so soll der Bereich K ein Körper genannt 
werden. So bilden die rationalen Zahlen, wenn sie durch die ge 
wöhnlichen elementaren Rechenoperationen, die vier Spezies, mit 
einander verknüpft werden, den sog. Körper der rationalen 
Zahlen, dessen Elemente sämtlich offenbar aus dem Einheitsele 
ment 1 durch sukzessive Anwendung dieser Rechenoperationen er 
halten werden können. Aus diesem Grunde soll der Körper der ratio