pefficienten 
en: 
, und dies 
gleich Null 
meter 
n linearen 
e Curven- 
à 4, No. 2); 
y — 0, so 
rt complex. 
— ( noch- 
) x0 
Ipunkt hat 
4 x= 0, 
Tr zwischen 
itiv, so ist 
die Curve 
Sn 
= — 90:X 
811. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. 099 
y — — e:x, die halbe Hauptachse und Nebenachse sind y t:x und Ve TH; 
der Winkel der Abscissenachse mit der Nebenachse ist der zwischen — 45° und 
-- 45? enthaltene Winkel, der der Gleichung genügt: 
2 (Bx — de) 
(6 — Dx — 02 +22” 
C. a) Ist « — 0, so ist ® = 0 die Gleichung zweier conjugirt complexen 
Punkte; dieselben sind auf der realen Geraden enthalten, mit welcher die 
Abscissenachse den Winkel w bildet. 
b) Ist p — 0, so ist ® = 0 die Gleichung zweier realen Punkte, mit deren 
Geraden die Ordinatenachse den Winkel « einschliesst. Die Gleichungen der 
beiden Punkte sind, wie man leicht erhält, wenn man in No. 20, 2 / mit Hülfe 
der Transformationsformeln durch z, v ersetzt 
(— Y — (a 4-3) x 4- 02 4- €? sin e -- 0) U — (y— (& 2-3) x 4- 02 + €? coso He)u+x = 0, 
4-3) x 4- 82 -- e? co$e — €) 0 — x — O0. 
0, 
tang 20 = 
  
(— V — la 4-3) x 4-82 4- e? sinn —8) u + (y — (a 
D. Ist x — 0, und nicht zugleich e — 8 = 0, so ist die Curve ® = 0 eine 
Parabel. 
Die Coordinaten des Parabelscheitels ergeben sich aus No. 21, 3 mittelst der 
der Transformationsformein zu 
1 ^ ^ ^ € 
E 9(83 + 2)? (ad -- adel nu 18s? -- 9823), 
1 — — 
Y 7 9074 63)? 
Der Parameter stimmt dem absoluten Werthe nach überein mit 
X 
(Ye? + 270? € — ad%e + 2883). 
  
  
die Parabelachse schliesst mit der Abscissenachse den Winkel c ein und erstreckt 
sich entlang der positiven oder negativen Seite dieser Geraden, je nachdem 
as? — 9083s -- 19? positiv oder negativ ist. 
E. Ist x — 0 und zugleich e = à = 0, so zerfällt die Curve in die zwei 
unendlich fernen Punkte 
eur BA 0, 
au + (B+ y9? —«pv = 0. 
Je nachdem 8? — «t positiv, Null, oder negativ ist, sind diese beiden Punkte 
(Richtungen) real und verschieden, real und vereint, oder conjugirt complex. 
25. Wie zu erwarten war, haben wir die Gebilde ersten Grades — die Gerade 
und den Punkt — unter den Gebilden zweiten Grades wieder vorgefunden. 
Eigentliche Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse giebt es, 
wie wir gesehen haben, nur die drei: Ellipse, Hyperbel und Parabel. 
8 11. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und 
durch fünf T'angenten. 
1. Die Gleichung einer Linie zweiten Grades 
F= ax? + 20bxy + cy? + 2dx+2¢y +f = 0 
enthält sechs Constante, a, à, ec, d, e, f. Wird von einer Curve zweiten Grades 
verlangt, dass sie durch einen gegebenen Punkt P, (x,, yı) geht, so müssen die 
Coefficienten a . . . f so beschaffen sein, dass die Gleichung erfüllt wird: 
axl + 96x, c cyg + 24x; + 2¢y, + 4 = 0. 
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