110 Analytische Geometrie. 
B. Die Geraden, welche vier feste Gerade ABCD, von denen 
nicht drei durch einen Punkt gehen, in Punkten treffen, die ein 
gegebenes Doppelverhältniss x haben, umhüllen einen Kegelschnitt. 
Es sei Z eine solche Gerade. Construirt man den Kegelschnitt X, der durch 
die fünf Tangenten 4, 2, C, D, E bestimmt ist, so schneidet jede Tangente 
dieses Kegelschnitts die vier Geraden 4 CD unter dem Doppelverháltniss x. 
Angenommen, eine Gerade X, die KA nicht berührt, schneide 42 CD unter 
dem Doppelverhiltniss x, so lege man von dem Punkte, in welchem .X von 4 
getroffen wird, eine Tangente Y an K. Bezeichnet man mit X(4 BCD) das 
Doppelverháltniss der vier Punkte, in dem .X von ABCD getroffen wird, so hat 
man X(ABCD) = wn = Y(ABCD). 
Die Punktreihen X(ABCD) und Y(ABCD) sind daher projectiv. Da nun 
der Schnittpunkt 4 der Geraden X und Y sich selbst entspricht, so sind die 
beiden Reihen perspectiv, es gehen also die Geraden BCD durch einen Punkt. 
Dies widerspricht der Voraussetzung; also wird keine Gerade, die Æ nicht be- 
rührt, von den Geraden 4 ACD unter dem Doppelverhiltniss x geschnitten. 
16. A. Den Kegelschnitt, auf dem die Punkte liegen, von denen 
aus vier gegebene Punkte ABCD unter einem gegebenen Doppel- 
verhältniss projicirt werden, kann man in folgender Weise construiren. 
Soll das Doppelverbáltniss x gleich dem von vier durch einen Punkt gehen- 
den Strahlen 7, 7 7; 7, sein, so projicire man BCD von À aus durch die 
Strahlen A, A, A, und bestimme nun durch A4 den Strahl 7, für welchen 
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Hierauf projicire man ACD von B aus durch die Geraden AURA, und 
construire den Strahl A,' durch B so, dass (A, Ay RA; Ay) = (74 7s T, T4). 
Die Büschel A, £, 4, A, und A, 7, A, A,' haben dann beide das Doppel- 
verhültniss x, sind also projectiv. Ergänzt man diese Büschel. so schneiden sich 
die entsprechenden Strahlen in den Punkten des gesuchten Kegelschnitts. 
Ist M ein Punkt dieses Kegelschnitts, so ist M(ABCD) = (Ry Ry Ry R,), 
also = x, wie verlangt war. 
B. Den Kegelschnitt, dessen Tangenten vier gegebene Gerade 
ABCD unter einem gegebenen Doppelverhältniss x schneiden, kann 
man construiren wie folgt: : 
Das Doppelverhältniss x sei als das Doppelverhiltniss von vier Punkten 
P,P, P, P, einer Geraden gegeben. 
Man schneide mit 4 durch die Geraden BCD in den Punkten A4, A, K, 
und construire auf 4 den Punkt A,, für welchen (R, RR, RR; Rı) = (P, P2P3 Pa)- 
Ferner bemerke man auf Z die Schnittpunkte A,' A, 7,' mit den Geraden 
ACD und bestimmt den Punkt X’, für welchen (A, X, A, A,' — (PE BP) 
Ergünzt man nun die projectiven Reihen Æ, Æ, A, A, und 4, A, £y CE 
so sind die Verbindungsgeraden je zweier entsprechenden Punkte die Tangenten 
des gesuchten Kegelschnitts. 
Ist M eine dieser Tangenten, so ist in der That 
M(ABCD) — R, R, K3 Æ,, also = x. 
17. A. Wenn die sechs Punkte 4, 2, C, D, £, F, G auf einem Kegelschnitte 
liegen, so kann man zwei beliebige von ihnen als Tráger zweier projectiven 
Büschel ansehen, von denen entsprechende Strahlen sich in den übrigen vier 
Punkten schneiden. Sechs Punkte eines Kegelschnitts bilden also, ganz will- 
kürlich angeordnet, die Ecken eines PAscAr'schen Sechsecks (8 6 No. 4); wir haben 
   
   
   
  
  
   
   
  
  
  
   
   
  
  
  
  
   
  
  
   
  
  
  
   
  
  
  
  
   
  
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
   
  
  
  
     
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