114 Analytische Geometrie, 
man durch diesen Satz den Tangentialpunkt, der auf einer gegebenen Tangente 
liegt, wenn ausserdem zwei Tangenten und ihre Berührungspunkte bekannt sind. 
Die entsprechende Umgestaltung eines T angentensechsseits führt auf denselben 
Satz. 
8 12. Homogene Coordinaten des Punktes und der Geraden. 
1. Wir wenden uns nun zu einer neuen Coordinatenbestimmung, den homo- 
genen Coordinaten. Die homogenen Coordinaten sind, wie wir bald sehen 
werden, ebenso anschaulich wie die Parallelcoordinaten und haben vor diesen 
den Vorzug voraus, dass die analytischen Entwicklungen und Formeln in homo- 
genen Coordinaten, insbesondere bei Problemen allgemeinerer Art, einen hóheren 
Grad von Einfachheit und Uebersichtlichkeit besitzen, und dadurch zur Ab- 
leitung geometrischer Sätze besser geeignet sind, als bei Anwendung von 
Parallelcoordinaten. 
Wir werden drei Bestimmungsstücke — Coordinaten — des Punktes und der 
Geraden benutzen. Da in der Ebene die Lage eines Punktes und einer Geraden 
durch zwei Stücke bestimmt ist, so muss sich aus zweien der drei homogenen 
Coordinaten die dritte berechnen lassen; zwischen den drei homogenen 
Coordinaten eines Punktes und einer Geraden besteht also eine 
Gleichung, durch die man dann wieder eine derselben, wenn erwünscht, 
eliminiren kann. 
Wir werden die Coordinaten so wühlen, dass diese Gleichung eine lineare ist. 
Es zeigt sich leicht, dass man in den Stand gesetzt ist, jede Gleichung in 
homogenen Coordinaten in eine homogene Gleichung zu transformiren, d. 1. 
in eine Gleichung, deren Glieder gleich viele veränderliche Faktoren enthalten; 
und in der Möglichkeit liegt der wesentliche Vorzug der homogenen Coordinaten. 
Ehe wir zur Aufstellung dieser Coordinaten vorschreiten, schicken wir einige 
Bemerkungen über das Vorzeichen von Dreiecksflächen voraus, die sich an 
8 5, 5 anschliessen. 
9. Wenn zwei Gerade sich in einem Punkte O schneiden und auf 
der einen Geraden zwei Punkte 4 und Z, auf der andern zwei Punkte 
C und D liesen, so ist: 
Qc o4 OC 
68D — 0p OÙ 
B Beweis. Aus den Elementen ist bekannt, dass 
dieser Satz richtig ist, wenn man die beiden Dreiecks- 
P | flächen sowie die vier Strecken alle positiv rechnet. 
TM A. EN Wir haben also noch nachzuweisen, dass die Gleichnug 
9 ET 3 7. richtig bleibt, wenn auf die Vorzeichen Rücksicht 
E genommen wird. 
d a) Liegen die Punkte 4 und 5, sowie die Punkte 
C und D auf derselben Seite von O, so haben die 
Flichen OAC und OBD dasselbe Zeichen, es ist 
daher jeder der drei Quotienten OAC : OBD, 
OA: 0B, OC: OD positiv, und somit die Gleichung 
1. auch hinsichtlich des Vorzeichens richtig. 
b) Liegen die Punkte 4 und 5, sowie die Punkte 
C und D auf verschiedenen Seiten von O, so sind 
die Dreiecke OAC und OD gleichen Sinnes, der 
  
(M. 410.) 
   
      
  
  
   
  
  
  
  
   
   
  
  
   
  
   
  
  
  
   
   
  
   
  
    
   
  
  
  
   
  
  
     
   
    
   
   
  
  
  
  
  
  
   
   
  
  
  
   
Quotient O 
und O D si 
und OC: € 
auch in die 
C) Lieg 
CL, zB. 
0, die des 
ist einer de 
andere neg 
in diesem E 
Beide Seite 
Zeichen. 
Somit 
Quotient O 
der Vorzei« 
8. Tü 
Beweis 
im Dreieck 
ebenso dk 
ABC= PB 
dasselbe Z« 
1. 
so gilt dies 
Bemer 
9. 
Es ist 
folge der I 
Zunäcl 
3. BC 
4. CZ 
9. TEE 
Wenn 
vier Punkte 
Permutatio: 
stabenfolge 
SO wechsel 
auch für d 
Es ist 
und ACD 
tauschung 
Da 4A. 
so folgt au 
0. 
Die G 
Bemer 
ACP = 
so folgt au