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8 12. Homogene Coordinaten des Punktes und der Geraden. 115 
Quotient OAC: OBD ist also positiv. Die Strecken O.4 und OB, sowie OC 
und O.D sind aber ungleichen Sinnes, und daher die beiden Quotienten O A : OZ 
und OC : OD negativ, ihr Produkt also wieder positiv; die Gleichung 1. ist daher 
auch in diesem Falle gültig. 
c) Liegen die Punkte eines der beiden Paare AB und 
CD, z. B. die des Paares AB, auf derselben Seite von 
O, die des andern Paares auf verschiedenen Seiten, so 
ist einer der Quotienten O A : O B und O C: OD positiv, der 
andere negativ. Die beiden Dreiecke O.4C und OZ D sind 
in diesem Falle ungleichen Sinnes, ihr Quotient also negativ. 
Beide Seiten der Gleichung 1. haben also jetzt das negative 
Zeichen. (M. 411.) 
Somit stimmen für jede Lage der Punkte ABCD der 
Quotient OAC: OBD und das Produkt (O A : O B) (OC: O D) auch rücksichtlich 
der Vorzeichen überein. 
  
9 
39. Für vier Punkte der Ebene gilt die Gleichung: 
ABC — BCD + CDA — DAB = 0. 
Beweis. a) Liegt einer der Punkte im Dreieck der drei anderen, z. B. D 
im Dreieck 4 BC, so haben die Dreiecke ABC und DBC dasselbe Zeichen, und 
ebenso die Dreiecke BCA und DCA, sowie CAB und DAB. Da nun 
ABC=BCA=CAPB, so haben die vier Dreiecke ABC, DBC, DCA, DAB 
dasselbe Zeichen. Da nun für die absoluten Werthe die Gleichung gilt 
]. ABC = DAB + DBC + DCA, 
so gilt diese Gleichung auch mit Riicksicht auf den Sinn der Flichen. 
Bemerkt man, dass DBC = BCD, DCA = — CDA, so erhält man aus 1. 
2. ABC — BCD + CDA — DAB = 0. 
Es ist nun nachzuweisen, dass die Gleichung auch fiir jede andere Reihen- 
folge der Punkte 4 BCD gilt. 
Zunächst ist ersichtlich, dass die Formeln gelten: B 
8. BCD — CDA + DAB — ABC = 0, \ 
4. CDA — DAB + ABC — BCD = D, "5 \ 
9. DAB — ABC + BCD — CDA = 0. | 
Wenn also die Formel 2. für eine Reihenfolge der e 
zt 
vier Punkte erwiesen ist, so gilt sie auch für jede cyklische T 
Permutation der Reihe. Kehrt man in 2., 3., 4. die Buch- 44 
stabenfolge um, macht also die Anordnungen 
DCB4, 4DCB, BADC, CBAD, 
so wechseln sämmtliche Flächen den Sinn, also bleibt die behauptete Gleichung 
auch für diese Permutationen richtig. 
(M. 412.) 
Es ist nun noch nachzuweisen, dass sie auch für die Anordnungen ABDC 
und ACDB gilt; denn aus diesem gehen alle übrigen durch cyklische Ver- 
tauschung und Umkehrung hervor. 
Pa ABD = DAB, BDC = -BCD, DCA=-—-CDA, CAB = ABC, 
so folgt aus 2. durch Einsetzung dieser Werthe und Wechsel der Vorzeichen 
6. ABD — BDC + DCA — CAB = 0. 
Die Gleichung gilt also auch fiir die Reihenfolge 45 CD. 
Bemerkt man weiter, dass 
4CB = — ABC, CBD = — BCD, BDA = DAB, DAC = CDA, 
so folgt aus 2.