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§ 13. 
Tangente, Tangentialpunkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 125 
x, = 0 ergeben, es muss also 4,9 — @,, = 0 sein. Berührt der Kegelschnitt 
K auch die Achse 4,4, im Punkte 4,, so ist 2,4 — 444 — 0. Die Gleichung 
eines Kegelschnitts, der die Achsen A4, 4, und À, As in A, und A, berührt, ist daher 
4. dam + 908955454, 70. 
In jedem Kegelschnitt hat also das Produkt der Abstánde jedes 
Punktes von zwei Tangenten des Kegelschnitts (4,44, und 4,4,) zum 
Quadrat des Abstandes von der Berührungssehne (4,4,) ein constantes 
Verhältniss (— a, , : 24923). 
B. Die Coordinaten der durch 4, gehenden Tangenten eines Kegelsschnitts 
8 = aud + 20940) + Zu, 3U,U4 + A99Uf + 2023UgUg + Azgug = 0 
ergeben sich aus den Gleichungen: 
Or 
TO 
- 
S 
T 
TO 
[Sv] 
S 
N 
[e 
je 
S 
les 
A, 
Setzt man aus der ersten in die zweite ein, so ergiebt zur Bestimmung des 
Verhältnisses der Coordiraten z,:2$4 der gesuchten Tangenten die quadratische 
Gleichung 
2 a = 
6. 4,14," -- 90,494,945 -- G5944 = 0. 
Geht & durch 43, so fallen beide Tangenten in eine zusammen, die Gleichun 
3 , 8 
6. hat daher zwei gleiche Wurzeln. Die Bedingung hierfür ist 
à M 
7. 4, % 411 %99 = 0. 
Soll 4,4, die Tangente in 4, sein, so müssen beide Wurzeln der Gleichung 
6. 4, == 0 sein, és ist also a,, = 059 = 0. 
Geht der Kegelschnitt auch durch A, und bertihrt A, A,, s0 ist 4, 3 = 433 = 0. 
Die Gleichung eines Kegelschnitts in Liniencoordinaten, der die Achsen 
; pu S e 5 J bt 
did, und 4,4, in 4, und 4, berührt ist also: aus + Qu, um, = Q. 
Multiplicirt man diese Gleichung mit z?, so ergiebt sicb 
2 7 = 
qul) + 20527074 — 0. 
Für jede Tangente eines Kegelschnitts hat also das Produkt der 
Abstände von zwei Punkten (4, und 4,) zum Quadrate des Abstandes 
vom Schnittpunkte (4,), der durch diese beiden Punkte gehenden 
Tangenten des Kegelschnitts ein constantes Verhältniss. 
$ 13. Tangente, Tangentialpunkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 
1. Wir verbinden einen beliebigen Punkt $ der Ebene, der die Coordinaten 
F1» T9, T3, hat, mit einem andern Punkte Il, dessen Coordinaten &,, £,, E, sind, 
durchschneiden mit der Geraden PII die Curve zweiten Grades 
| fe a, X, + 20, 994%, + 201 3%1%3 + AgaXg + 2493X9Xz E G3 4x! — 0, 
und fragen nach dem Verháltnisse, in welchem die Strecke $8II von den beiden 
Schnittpunkten getheilt wird. 
Der Punkt P2 der Strecke 331l, welcher dieselbe im Verhältniss À, : À, theilt, 
hat bekanntlich die Coordinaten 
Airy + Ag, MTs + A962 hrs + AoE, 
ELE nh BE Th 
Setzt man diese Werthe in i. ein, so erhält man nach Multiplication mit 
Q4 FX: 
9. 4 40 41,2734 6,)?-- 20, (4,197198, ) 419 273589) 4- 20,5 41, 4-39 8,) O13 4-364) 
7k 245 9 (Mug 271585)? 27 2055 (^12 27 A983) Qaa H7 $83) H7 433 Qa 27 A98,)? — 0. 
. 
9 = 
Ze X1 I 
   
         
  
   
    
  
   
  
  
   
   
   
  
   
    
      
    
   
  
   
    
   
  
    
  
  
  
  
   
   
  
  
   
  
  
  
   
     
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
en 
RU AE E NER EE 
EESTI