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Tangente, Tangentialpunkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 127 
Giebt es ein Werthsystem x,, Y, t4, für welches diese drei homogenen 
linearen Functionen zugleich verschwinden, so verschwindet die Determinante À 
dieser Functionen 
| 01315 a Ms 
2. A= la, ay, ay 
[dis > Pas: aa | 
Ein Punkt einer Curve, der die Figenschaft hat, dass jede durch ihn hindurch 
gehende Gerade die Curve in zwei in den Punkt zusammenfallenden Punkten 
trifft, heisst ein Doppelpunkt der Curve. 
Verschwindet also die Determinante À, 
zweiter Ordnung einen Doppelpunkt. 
Die Coordinaten des Doppelpunktes bestimmen sich aus zweien der drei 
n Fo E 
zx (. 
  
so besitzt die Curve 
Gleichungen 1. und der Gleichung X d y > À 
i A. Az 
Die Coordinaten des Doppelpunktes werden unbestimmt, wenn 
unter den drei Gleichungen /,; — for = /sr = 0 nicht zwei unabhängige sind, 
d. i. wenn die linearen Functionen fy, for, fp einander proportional sind, wenn also 
3. 941157105049 = 41950995054 07 049 5723 1a 
Setzt man di. == RG; 4; 50 folgt d55 — x04, —— XIdi, doa 77 X0... Sets 
man ferner g,4 — A4,,, SO Wird 444 — Àd,g —— XÀGu,, a3; = hay; = A20. 
Führt man diese Werthe in die Function f ein, so erhalten alle Glieder den 
Faktor @,,; nach Weglassung dieses Faktors bleibt: 
T. x2 + nx, x, + 9AxQX. -- X5x2 o O9xAXQ4X. + Mx], 
(e, d- xXx, + hay)? 
Die Function f ist also das Quadrat einer linearen Function, die Gleichung 
f -: 0 vertrntt zwei zusammenfallende Gerade. 
In diesem Falle verschwinden sámmtliche Subdeterminanten von A, Wenn 
A verschwindet, ohne dass sàmmtliche Subdeterminanten verschwinden, so ist der 
Doppelpunkt $3 eindeutig bestimmt.  Verbindet man ihn mit einem andern auf 
n d 
der Curve / — O0 gelegenen Punkte |l, so ist in No. 1, 4 ausser /; = 0 und 
S118 + Sorby + Firs = 0 auch noch der Coefficient von A2, nimlich fi, 
gleich Null; die Gleichung 4. ist also identisch, und wird für alle Werthe von A, 
und A, erfüllt; die Gerade Il gehört daher mit allen ihren Punkten der Curve 
an, sie bildet einen Theil der Curve. 
Eine Gerade, dic durch II geht, und nicht mit If} zusammenfällt, hat mit 
der Curve noch einen Punkt II, gemein, der nicht auf [IP liegt. Verbindet 
man Il, mit %, so schliesst man, dass auch PII, (ebenso wie PII) einen Theil 
der Curve bildet. 
Andere Punkte, die nicht auf PII oder PII, gelegen sind, kann die Curve 
nicht besitzen. Denn durch jeden Punkt Q der Ebene kann man immer Gerade 
zichen, die die zwei Geraden PII und PII, schneider. Làge nun Q auf der 
Curve, so würde jede solche Gerade drei Punkte mit der Curve gemein haben, 
im Widerspruche damit, dass eine Curve zweiter Ordnung von einer Geraden in 
zwei Punkten getroffen wird. 
Hat also eine Curve zweiter Ordnung einen Doppelpunkt, so zer- 
fällt sie in zwei Gerade. Diese Geraden kónnen in eine Gerade T 
zusammenfallen; dann ist jeder Punkt von I' als Doppelpunkt zu be- 
trachten. Sind die Geraden getrennt, so ist ihr Schnittpunkt der 
Doppelpunkt.