Analytische Geometrie. 
In der Figur sind 7' und 7" positiv angenommen. Ist OP" positiv und 
OF negativ, so liegt P in dem Winkel YOX'; sind OF' und OP" beide 
negativ, so liegt P im Winkel X'OY"; ist OP' positv und OP" negativ, so 
liegt P? im Winkel Y'OX. Durch absoluten Werth und Vorzeichen von x und y 
ist also die Lage des Punktes P und umgekehrt, durch einen Punkt 2 der 
Ebene sind die Gréssen O P' = x und O P" — y eindeutig bestimmt. 
Giebt man der Unbeéstimmten x andere Werthe, und lässt x alle realen 
Werthe von x, wachsend bis + oo und abnehmend bis — co durchlaufen, so 
gehört zu jedem Werthe der Verdnderlichen x gemiss der Gleichung /(æ, y) 
— ( ein bestimmter Werth von y. Diese Werthe von y sind im Allgemeinen von 
einander verschieden und es erscheint somit auch y als veránderliche Grósse, 
deren Werthe von den Werthen der Veründerlichen x abhángen. 
Construirt man zu jedem Paare zusammengehórender Werthe x und y den 
zugehörigen Punkt P, so wird, während x die Werthe von — œ bis + ee durch- 
läuft, vom Punkte P eine bestimmte Linie beschrieben. 
Die Abhängigkeit realer Werthe von x und y ist nun auf zweierlei Weise 
ausgedrückt: arithmetisch durch die Gleichung /(æ, y) = 0 und geometrisch durch 
die von P beschriebene Linie. Alle Sátze, welche durch algebraische Operationen 
für die Gleichung /(x, y) — 0 abgeleitet werden künnen, erscheinen nun zugleich 
als geometrische Sätze für die von P beschriebene Linie; und alle Sätze, welche 
sich durch geometrische Schlüsse für diese Linie ergeben, sind zugleich alge- 
braische Sätze für die Gleichung /(x, y) — 0. 
Die von 2 beschriebene Linie heisst die zur Gleichung /(x, y) — 0 ge- 
hórige Linie; die Strecken x (= O.P") und y (= O P") oder die parallelen und 
gleichen Strecken P" P und 'P heissen die Coordinaten des Punktes 7) O X und 
O Y heissen die Coordinatenachsen; insbesondere nennt man auch OP" die Ab- 
scisse, P'P" die Ordinate von 7, und demgemiàss O X die Abscissenachse, 
O Y die Ordinatenachse. 
Alle Punkte, welche die Abscisse O.P' haben, liegen auf der durch P 
gehenden Parallelen zu O Y; alle Punkte, welche die Ordinaten OZ" haben, 
liegen auf der durch P” gehenden Parallelen zu OX. Für alle Punkte der 
Ordinatenachse ist die Abscisse gleich Null; für alle Punkte der Abscissenachse 
ist die Ordinate gleich Null. 
Der Schnittpunkt O der beiden Achsen heisst Coordinaten anfangspunkt 
oder Nullpunkt. Für den Nullpunkt ist x — 0 und y — 0. 
9. Der methodische Gang in der analytischen Geometrie ist der, dass zu- 
nächst die Linien untersucht werden, in deren Gleichung /(x, y)-— 0 die linke 
Seite eine algebraische rationale ganze Function ersten Grades für x und y ist; 
hierauf folgen die Curven, für welche f(x,y) vom zweiten, dritten und 
vierten Grade ist. Für diese Linien ersten, zweiten, dritten und zum Theil auch 
für die des vierten Grades ist eine grosse Fülle ins Einzelne gehender Sätze 
durch algebraische Operationen aufgefunden worden; für die Curven des fünften 
Grades und höherer Grade giebt es eine Reihe wichtiger allgemeiner Sätze; die 
Untersuchung der Eigenschaften, welche Curven eines bestimmten Grades vor 
denen anderer Grade auszeichnen, wird mit dem wachsenden Grad der Gleichung 
schwieriger. 
Für solche Curven, bei denen die Function f(x, y) nicht mehr algebraisch 
für # und y, sondern transcendent ist, lehren die Differentialrechnung und 
      
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
  
  
  
  
  
  
  
    
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