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die Ver- 
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C und D 
Polaren- 
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8 14. Kegelschnittbüschel und Kegelschnittschaar. 149 
d. h. jedes Paar Gegenseiten dieses Vierecks ist conjugirt. Umgekehrt: 
Wenn zwei Paare Gegenseiten eines vollstándigen Vierecks einem 
Kegelschnitte conjugirt sind, so ist es auch das dritte Paar. 
29. Die Identitit No. 26, 3 kann geschrieben werden 
1. pa SEP En Pa PR 145 P2 — 145 PÉ. 
Alle Geraden, für welche y, P2 -- pu, P2 + wu; P2 = 0, berühren einen 
Kegelschnitt, für welchen P, P,P, ein’ Polarendreieck ist; nach 1. ist fiir diesen 
Kegelschnitt auch pn, P? + pu; P2 + pu, P2 = 0, es ist also auch 2, P, P, ein 
Polarendreieck desselben. Wir erkennen daher: Wenn zwei Dreiecke einem 
Kegelschnitte eingeschrieben sind, so giebt es einen bestimmten 
Kegelschnitt, für den sie Polarendreiecke sind. 
Umgekehrt: Zwei Polarendreiecke desselben Kegelschnitts sind 
einem andern Kegelschnitte eingeschrieben. Denn sind P P,P, und 
F,P;P, Polarendreiecke eines Kegelschnitts, so kann die Gleichung desselben 
in den beiden Formen geschrieben werden 
6, FP} + a, P+ a, Pf = 0 0, P+ a, P02, P} = 0. 
Daher giebt es eine Zahl %, durch welche die Identität hergestellt wird 
a, Pl + ay PE + a, P2 — na, Pî — na, P? — na, Pê = 0, 
folglich liegen die Punkte P, ... P, auf einem Kegelschnitte. 
B. Wenn zwei Dreiecke demselben Kegelschnitte umschrieben 
sind, so sind sie Polarendreiecke für einen bestimmten anderen 
Kegelschnitt; und umgekehrt: Zwei Polarendreiecke desselben Kegel- 
schnitts sind einem andern Kegelschnitte umschrieben. 
8 14. Kegelschnittbüschel und Kegelschnittschaar. 
1. A. Die Gesammtheit aller Kegelschnitte, deren Gleichungen 
in Punktcoordinaten aus den Gleichungen zweier gegebener Kegel- 
Schnitte /' — 0 und /" — 0 in der Weise abgeleitet werden 
fm MY + AS! = 0, 
heisst ein Kegelschnittbiischel. Man erhilt alle Kegelschnitte des Biischels, 
indem man dem Verhiltnisse A, : A, der Reihe nach alle möglichen Werthe giebt. 
Die Kegelschnitte /' — 0 und /" — 0 gehóren zum Büschel; sie gehen 
aus f hervor, wenn man A, — 1 À 0, bez Aq = 0, A, = 1 setzt. 
Durch jeden Punkt der Ebene geht ein Kegelschnitt des Büschels. 
Sind nämlich f,' und /," die Werthe, welche die Functionen /' und /" für einen 
gegebenen Punkt P der Ebene erhalten, so nehme man A, — fj", 1, — fi, 
bilde also den Kegelschnitt f & A". — f. f" — 0. 
Setzt man in /' und /" statt der laufenden Coordinaten die Coordinaten 
des Punktes $3, so verschwindet / identisch, also liegt N auf £ = 0: 
Hiervon machen nur solche Punkte eine Ausnahme, für welche zugleich 
/ = 0 und f," = 0, die also den Kegelschnitten /' und /" gemein sind. Für 
dieselben verschwindet auch die Function / = à, f! -- A, f", sie gehóren also 
allen Kegelschnitten des Büschels an; sie heissen die Träger des Büschels. 
B. Die Gesammtheit aller Kegelschnitte, deren Gleichung in 
Liniencoordinaten aus den Gleichungen zweier gegebenen Kegel- 
Schnitte &' = 0 und 4" — 0 in der Weise abgeleitet werden 
Eg + Ap” =, 
heisst eine Kegelschnittschaar. Man erhält alle Kegelschnitte der Schaar, 
wenn man dem Verhältnisse À, : A, der Reihe nach alle moglichen Werthe beilegt. 
     
   
   
  
   
  
  
  
  
  
  
   
   
    
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
    
  
   
  
   
  
  
    
   
  
   
   
   
   
   
  
   
    
   
    
  
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