Analytische Geometrie. 
complex (etwa die complexen Doppelpunkte einer auf einer gegebenen Geraden 
liegenden quadratischen Involution) sind. 
B. Die Auflösung der dual entsprechenden Aufgabe: Von zwei Kegel- 
Schnitten sind zwei gemeinsame Tangenten und ausserdem von jedem 
drei Tangenten gegeben, man soll die beiden andern gemeinsamen 
Tangenten construiren, ist an der Hand der soeben mitgetheilten Con- 
struction leicht aufzufinden. 
9. A. Den Kegelschnitt eines Büschels zu construiren, der durch 
einen gegebenen Punkt-Z geht. 
«) Hat das Büschel vier reale Träger A, B, C, D, so sind von dem gesuchten 
Kegelschnitte fünf reale Punkte bekannt, also kann derselbe (nach PASCAL) con- 
struirt werden. 
8) Hat das Büschel nur zwei reale Triger 4, P, so bestimme man zu- 
nächst nach No. 8 A die Gerade 7, auf welcher die beiden conjugirt complexen 
Träger liegen. Projicirt man drei weitere Punkte C, JD, Z eines Büschel- 
kegelschnitts /" von .4 und von J aus auf 7, so sind die beiden imaginären 
Träger die Doppelpunkte der durch die Projectionen C'D'Z' und C"D"E" 
bestimmten projectiven Reihen. Der gesuchte Kegelschnitt kann nun aus den 
drei realen Punkten 7, 4, B und den beiden conjugirt complexen nach 811, No. 14 
construirt werden. 
y) Ist keiner der Träger gegeben, so verbinde man den gegebenen Punkt 
P mit einem gegebenen Punkte 4 des einen Büschelkegelschnitts /' und bestimme 
den zweiten Schnittpunkt A, der Geraden P4 und der Curve /', sowie die 
beiden Schnittpunkte Æ und B, von PA und einer zweiten Büschelcurve /". 
Hierauf construit man den Punkt Q so, dass das Paar PQ zu der durch 
die Paare AA, und BB, bestimmten Involution gehôrt. Alsdann ist Q ein 
Punkt des gesuchten Kegelschnitts. Wenn man nun P mit drei weiteren Punkten 
C, D, E von f' verbindet, und dieselbe Construction wiederholt ausführt, so 
bekommt man weitere drei Punkte Æ, ,S, 7' des gesuchten Kegelschnitts und kann 
denselben nun aus den fünf realen Punkten 2, Q, A, S, 7' construiren. 
Wenn eine der Geraden, z. B. P4 den Kegelschnitt /'" nicht in realen 
Punkten schneidet, sondern die Schnittpunkte als die conjugirt complexen 
Doppelpunkte zweier auf einander liegenden projectiven Punktreihen auftreten, 
so hat man von der Involution, in welcher 24 das Kegelschnittbüschel 
schneidet, ein reales Punktpaar 4.4, und ein conjugirt complexes, und es 
kommt nun zur Ergänzung dieser Involution darauf an, durch dieses complexe 
Punktpaar und einen ausserhalb PA liegenden beliebig angenommenen realen 
Punkt X einen Kreis zu legen. 
Sind G 77/ 7 G'H' J' drei Paare entsprechender Punkte der projectiven Punkt- 
reihen, durch deren Doppelpunkte der gesuchte Kreis gehen soll, so verbinde 
man # mit G, H und /; construire den Kreis, in welchem der auf der Sehne 
G' H' stehende Peripheriewinkel dem Winkel G.ZZ gleich ist, sowie den Kreis, 
der H/ zur Sehne und auf derselben einen Peripheriewinkel gleich 777/ hat. 
Diese beiden Kreise haben ausser /7' noch einen realen Punkt X gemein. Da 
nun in den beiden Büscheln # und X die entsprechenden Winkel gleich sind, 
so liegen die Punkte / und X und die Schnittpunkte der drei Paar entsprechenden 
Strahlen auf einem Kreise, und die Strahlen, welche von # und von Æ aus die 
Punkte dieses Kreises projiciren, treffen die Gerade G'G' in entsprechenden 
Punkten der beiden projectiven Punktreihen. Also ist dieser Kreis der gesuchte. 
  
      
   
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
   
   
   
   
  
    
    
   
  
   
    
    
  
    
    
  
   
   
     
   
   
   
  
  
   
  
   
  
  
  
  
   
    
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