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8 14. Kegelschnittbüschel und Kegelschnittschaar. 163 
wollen wir als ein System mit zwei Trägern, oder kürzer als ein zwei- 
punktiges System (von Kegelschnitten) bezeichnen. 
Die Kreise einer Ebene haben die beiden imaginüren Kreispunkte gemein, 
bilden also einen besonderen Fall eines zweipunktigen Systems. 
Die Gerade, welche die realen oder conjugirt complexen Grundpunkte ent- 
hält, heisse die Achse des Systems. Je zwei Kegelschnitte des Systems haben 
ausser der Achse noch eine gemeinsame Secante; sie mag die zweite Secante 
der beiden Kegelschnitte heissen. 
Wählt man die Träger zu Ecken A, und A, des Coordinatendreiecks, so 
genügen die Coordinaten x, = x, = 0, und x, — x, — 0 der Gleichung 
jedes Systemkegelschnitts; also ist die allgemeine Form der Gleichung 
2 € ^ € A A crc 
Soll der Kegelschnitt nicht in die Achse und eine weitere Gerade degeneriren, 
So muss 45, von Null verschieden sein, und man kann der Gleichung die 
Form geben 
9, K = a,x? + ayn x, + A3X1X3 + X9X3 = 0. 
Ein zweiter Kegelschnitt des Systems habe die Gleichung 
3. AK zm XE + b3x x3 + xox, = 0. 
Hieraus folgt 
4. K& — K, 2 x, — 2,2, + (49 — 63) #3 + (@3 — 63) #3] = 0. 
Hieraus schliessen wir, dass 
à. £ em (e, — 61), + (4$ —06,) x, 2 (a4 — b,) x, md 
die Gleichung der zweiten Secante von X und K; ist. 
Die zweiten gemeinsamen Secanten der drei Paare Kegelschnitte des Systems 
K,K,, KK, KíK, seien €,, 9,, €,; dann ist 
xt, = K.— Ky «x¢ = Kg — A, x, mm AK — Ky. 
Hieraus folgt die Identität £, +2, + ¢; = 0. Dies ergiebt den Satz: Die 
drei zweiten Secanten dreier Kegelschnitte eines zweipunktigen 
Systems schneiden sich in einem Punkte. 
16. Ein Kegelschnitt X des durch zwei Kegelschnitte Æ, Æ, des Systems 
bestimmten Büschels hat die Gleichung Æ = A kK, + hl = 60, 
ohne Beschränkung A, + à, = 1 voraussetzen können. 
Die Gleichung irgend eines andern Systemkegelschnitts sei X' = 0; für die 
Gleichung der zweiten Secante Z' von K und X’ ist alsdann 
x L' = K— K' = 0. 
Nun ist £= MK, + A, Ko; da Ar dy == 1, 50 kann man. für. X" 
schreiben (A, + A») X’; hierdurch erhält man 
x L' = M(K, — K') + A (K, — K). 
Sind Z, = 0 und Z, = 0 die zweiten Secanten von KK und XX", 
so ist daher 
wobei wir 
Lem dcs 
Hieraus folgt, dass der Schnittpunkt der Geraden Z , und Z, auch auf Z' 
liegt. Da nun der Schnittpunkt von Z, und Z, nach No. 14 auf der zweiten 
Secante des durch die Kegelschnitte A, und A, bestimmten Büschels (d. i. auf 
der zweiten Secante von Æ, und A,) liegt, so haben wir den Satz: Ein 
Büschel in einem zweipunktigen Kegelschnittsysteme wird von einem 
andern Systemkegelschnitte X’ so geschnitten, dass die zweiten 
Secanten von X’ und den Kegelschnitten des Büschels sich in einem 
Punkte der zweiten Secante des Büschels treffen, 
11* 
  
  
        
  
m = 
tt ct dt tt ét te 
   
       
tt tti d