Analytische Geometrie. 
17. Der soeben entwickelte Satz lehrt die Construction der Kegel- 
schnitte eines Büschels, die einen Kegelschnitt X’ berühren, der 
durch zwei Träger des Büschels geht. Es seien 4BCD die Träger des 
Büschels, und X” gehe durch 4 und B. Man construire die zweite Secante Z 
eines Büschelkegelschnitts und des Kegelschnitts Æ'; vom Schnittpunkte der Ge- 
raden Z und CD aus lege man Tangenten an Æ'; und construire die Büschel- 
kegelschnitte, welche durch die Berührungspunkte dieser Tangenten gehen. 
18. Die Gesammtheit der Kegelschnitte einer Ebene, die zwei gemeinsame 
Tangenten haben, heisse ein System mit zwei Grundlinien, oder kürzer ein 
zweiliniges System. In ähnlicher Weise, wie die analogen Sätze für das 
zweipunktige System, findet man für das zweilinige System: 
Legt man ein Coordinatendreieck zu Grunde, in welchem die gemeinsamen 
Tangenten die durch 4, gehenden Seiten sind, so ist die Gleichung eines 
Systemkegelschnitts & = a, #2? + agu,uy + agu uy, + UgU, = 0. 
Die Gleichung des Schnittpunktes des zweiten gemeinsamen Tangentenpaares 
M der Systemcurven &; und &, ist 
1 
M = — ($, — K,) = 0. 
V1 
In einem zweilinigen System liegen die drei Schnittpunkte der 
drei zweiten gemeinsamen Tangentenpaare dreier Kegelschnitte auf 
einer Geraden; die Schnittpunkte der zweiten gemeinsamen Tangen- 
tenpaare eines Kegelschnitts mit den Kegelschnitten einer Schaar 
liegen auf einer Geraden, die durch den Schnittpunkt des zweiten 
gemeinsamen Tangentenpaares der Schaar geht. 
Mit Hülfe dieser Sátze kann man die beiden Kegelschnitte einer Schaar 
finden, die einen Kegelschnitt tangiren, der von zwei Grundlinien der Schaar 
berührt wird. 
$ 15. Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun 
gegebenen Punkten. 
1. Wir geben in den folgenden Abschnitten eine Reihe von Entwicklungen 
aus der Geometrie der Curven dritter Ordnung, die sich an das bisher Mit- 
getheilte zunächst anschliessen. 
Unter einer Curve zter Ordnung versteht man eine Curve, deren Gleichung 
in Punktcoordinaten vom Grade 7 ist. 
Die allgemeine Form der Gleichung einer Curve dritter Ordnung in Bezug 
auf ein homogenes Coordinatensystem ist 
f = A117 + 34,12%, X + 3A 13% Az e 3a, gaxíx y + 60159 X Xx, 
+ 30133%ı%g + Ug99%$ + 3Aga3XgXg + 3AgzzXaXg + Ag33%5 = 0. 
Bildet man die Summe Za;;;x;x;x;, indem man für jeden der Indices 7, 4, / 
der Reihe nach die Nummern 1, 2, 3 nimmt, und setzt dann die Coefficienten 277; 
einander gleich, die sich nur durch die Anordnung der Indices unterscheiden, 
so erhält man die Function /; es mag daher unter dieser Voraussetzung die 
Function / durch die Summe Xa;;;x;x;x; bezeichnet werden. 
Soll eine Curve dritter Ordnung durch einen gegebenen Punkt 7' gehen, so 
sind die Coefficienten 2;;; so zu wáhlen, dass der Gleichung Xa;;;/x;'x;x; — 0 
genügt wird; dies ist eine homogene lineare Gleichung für die zehn Grössen a;;;. 
Durch neun solcher Gleichungen sind die Verhältnisse 
     
   
    
    
  
     
   
  
  
  
    
   
   
    
   
   
     
    
  
    
   
  
     
   
   
    
   
   
  
    
  
§ 15 
a 
bestimmt 
Punkte 
Die 
dritter Oi 
cubischen 
vereint si 
xi 
also ist. 
2. D 
Ordnung 
Die ( 
Die ( 
$3; 4,5 di 
3. 
genügen. 
4. 
und setzt 
Gleichung 
Form ersc 
5. 
6. 
Hier 
den der In 
Um. : 
Gleichung 
die sechs 
7 
xg J 
m2 
/ 
Xa 7 
x27 
Betrac 
der sechs